21

Волны сжатия в стержне

3. Предельный переход от упругой линии с сосредоточенными массами к упругой линии с распределенными массами

Реализуя описанную в п.2 последовательность нахождения решения, описывающие колебания в стержне конечного сечения, мы на первом этапе воспользуемся результатами, полученными в [14] при исследовании идеальной упругой линии с сосредоточенными массами, и на этой основе определим решения для бесконечно тонкой упругой линии (стержня) с распределёнными массами.

В указанной работе было представлено два блока решений для полубесконечной упругой линии с сосредоточенными для вынужденных и свободных колебаний соответственно. Для исследования, проводимого в данной работе, нас будут интересовать вынужденные колебания, поскольку именно этот режим соответствует процессу распространения продольных волн сжатия. Свободным же колебаниям, как показано в [14], соответствуют стоячие волны, которые имеют место в случае ненулевой плотности энергии в линии.

В свою очередь, для вынужденных колебаний в работе [14] приведено три решения в зависимости от соотношения между параметром и единицей (где - частота воздействия внешней силы, m - масса элементов линии, s - коэффициент жесткости линии). Этим трем решениям соответствуют три режима колебаний в линии: периодический ( < 1), апериодический ( > 1) и критический ( = 1).

Для осуществления предельного перехода к линии с распределенными параметрами согласно [15] нас будет интересовать периодический режим, поскольку, критический и апериодический режимы колебаний в линии с распределенными параметрами существовать не могут.

Таким образом, для случая < 1 точное аналитическое решение для полубесконечной идеальной упругой линии с сосредоточенными параметрами, согласно [14], имеет вид

где F₀ - амплитуда внешней воздействующей силы; _n - абсолютное смещение n-го тела из положения покоя;  = arcsin ; n = 1, 2, 3, ... .

Чтобы осуществить интересующий нас предельный переход к решению для линии с распределенными параметрами, необходимо по аналогии с [15] ввести соответствие между параметрами m, s,  _n, n, определяющими линию с сосредоточенными параметрами и параметрами: плотностью линии  , жесткостью   T, положением исследуемой точки в возбужденном состоянии  и невозбужденном состоянии , определяющими процессы в линии с распределёнными параметрами. Это удобно сделать следующим простым способом, введя

где a - расстояние между элементами линии в невозмущенном состоянии.

С учетом (13) и (14), выражение (12) принимает вид