233 - 234

Трасформация теоремы о дивергенции

с. 233

Трансформация теоремы о дивергенции вектора

в динамических полях

С.Б. Каравашкин

Специализированная лаборатория фундаментальных исследований СЕЛФ

 e-mail: selftrans@yandex.ru  , selflab@mail.ru

Статья впервые опубликована в журнале "Archivum mathematicum", 37 (2001), 3, с.233-243 (англ.)

Реферат

В статье приводятся результаты исследования потока и дивергенции вектора в динамических полях, проведенного на основе стандартного определения дивергенции и с использованием стандартной методики определения потока вектора. Выявлено, что в динамических полях поток и дивергенция вектора не обращаются в ноль. Показано изменение в формализме ЕМ полей, обусловленное учетом динамических процессов в поле.

Ключевые слова: теоретическая физика, математическая физика, волновая физика, векторная алгебра

 Как известно, уравнения векторной алгебры находят самое широкое применение в теории поля, в теории сплошных сред, в гидро- и аэродинамике. С их использованием описывается самый широкий спектр явлений, протекающих в физических полях, самых разнообразных потоках, средах и т.д. “Еще в 19 веке ученые начали нащупывать основное “ядро”, носящее математический характер. Это “ядро” содержит в себе следующие существенные понятия: градиент, потенциал, поток, дивергенция, вихрь, циркуляция и некоторые другие. Знание этих понятий крайне необходимо при изучении физики, механики и ряда технических дисциплин” [1, c.5].

В ряду вышеперечисленных основополагающих понятий операция нахождения дивергенции вектора является неотъемлемой частью большинства физических теорий. С ее использованием записываются законы сохранения заряда, тока, потока вектора, энергии поля и т.д. С использованием теорем на ее основе исследуются процессы распределения, распространения и затухания полей и потоков в пространстве. К числу таких базовых теорем относится и теорема Пуассона. На ее основе считается абсолютно доказанным, что для любого потока вектора (, t) в области без источников и стоков

Вернее, в исходных формулировках теоремы Пуассона зависимость функции (, t) от времени t отсутствует, поскольку «операция = div  (дивергенция ) относится к источникам векторного поля ()» [2, c.29], но не (, t).

с. 234

Более того, исходное определение потока вектора, на основе которого формулируется понятие дивергенции вектора, также предполагает стационарность поля. В частности, в [1, c. 89] при формулировании его определения делаются следующие посылки: «Для уяснения понятия «поток вектора» рассмотрим сначала простой физический пример. Пусть мы наблюдаем в некотором пространстве течение жидкости. Плотность жидкости постоянна и равна единице. В данном случае течение будем считать стационарным (установившимся). Это означает, что скорость частиц жидкости, протекающих через данную точку, зависит только от положения этой точки и не изменяется с течением времени». Таким образом, «поток вектора через поверхность – скалярная величина, характеризующая обилие векторного поля, пересекающего данную поверхность… Поток вектора зависит от величины поверхности, от величины вектора (P) и от направления этого вектора относительно нормали к поверхности» [1, c. 91]. То есть и для потока вектора в исходных определениях отсутствует зависимость от времени.

Однако необходимость использования операции дивергенции вектора потока в динамических полях потребовала расширения области справедливости определения дивергенции. Вследствие этого, основное ее определение в виде [3, c. 166]: «Дивергенция векторной функции точки () есть скалярная функция точки, определяемая формулой

где V₁ - область, содержащая точку (); S₁ - замкнутая поверхность, ограничивающая область V₁; - наибольшее расстояние от точки () до точек на поверхности S₁” - по умолчанию было признано справедливым и для векторов (, t).

Вместе с этим, также по умолчанию, были сохранены в неизменном виде и все теоремы, базирующиеся на определении дивергенции, в том числе и вышеупомянутая теорема Пуассона, которая вследствие расширения указанной области применимости приобрела известный вид (1).

Однако хорошо известно, что  силовые линии стационарных и динамических полей в общем случае существенно отличаются друг от друга. Действительно, «линии тока, вообще, не совпадают с траекториями. Семейство линий тока xⁱ = xⁱ(c¹, c², c³, , t)  зависит от времени и в разные моменты разное. Однако параметр t входит в правые части дифференциального уравнения линий тока и дифференциального уравнения, определяющего закон движения или траектории частиц – только в случае неустановившихся движений. В случае установившихся движений разница между указанными уравнениями пропадает, она сводится только к разному обозначению параметра, по которому производится дифференцирование, что не играет никакой роли» [4, с.41].

Это свидетельствует о том, что прямое отождествление динамических и стационарных моделей процессов в поле в общем случае некорректно  и естественным образом приводит к противоречиям внутри создаваемых на такой основе теорий.

Так, в базовую систему уравнений Максвелла для динамических ЭМ полей в области без зарядов и токов вошло уравнение Пуассона в форме (1), т.е. с учетом зависимости вектора электрического поля  и магнитного поля  от времени и без учета различия между динамическими и стационарными силовыми линиями. «Электромагнитное поле в пустоте определяется уравнениями Максвелла, в которых надо положить = 0, j = 0. Выпишем их еще раз:

Эти уравнения могут иметь отличные от нуля решения. Это значит, что электромагнитное поле может существовать даже при отсутствии каких бы то ни было зарядов. Электромагнитные поля, существующие в пустоте при отсутствии зарядов, называют электромагнитными волнами» [5, с.143].