т.37(2001) No 3, сс. 233 - 243

237 - 238

Трасформация теоремы о дивергенции

Построим эпюры изменения (x, t)  в пространстве и времени с учетом прогрессивного характера волнового процесса (11). На основе представленных на рис. 1 (в центре) диаграмм F(x, t), несложно определить _0i , поскольку в исследуемом нами случае интегрирование сводится к простому перемножению параметров вектора (x, t)  в выделенный момент времени t на исследуемой площадке на величину этой площадки. Результаты, рассчитанные для моментов времени, указанных на рис. 1, слева, приведены на рис. 1, справа. Как видно из расчетов, несмотря на использование стандартного определения и стандартной методики, полученные значения _0i(t) принципиально отличаются от предсказываемых теоремой Пуассона. Величина _0i  в общем случае не обращается в ноль на границах выделенных объемов и различна как для площадок a₁, a₂, a₃ , так и для всех моментов времени, хотя расчет _0i  производился по отношению к общей для всех объемов площадке a₀ и одновременно для всех выделенных площадок. То есть мы наблюдаем именно тот эффект, который описан во введении.

Рис. 2. Временные зависимости потока через выделенный объем от размера данной области

Эту особенность отражает и график зависимости _0i(t), приведенный на рис. 2, который построен на основе расчетов, представленных на рис. 1. Как видно из графика, и амплитуда, и фаза _0i(t) различны для всех выделенных объемов, как различны эти параметры и для G_i(t) , зависимость которого показана на рис. 3. Более того, с уменьшением размера выделенного объема, амплитуда G_i  возрастает. Тем самым подтверждается, что как минимум в одномерном случае поток вектора через выделенный объем в динамических полях не остается постоянным во времени. При этом легко доказать, что сам факт изменений _0i  обусловлен не пространственными параметрами потока, а именно прогрессивным характером волнового процесса.

Действительно, для любого выделенного объема в момент времени t имеем

где x_i = x_i - x₀ - расстояние между соответствующими площадками.

Учитывая, что в нашем случае V_i = x_iS , выражение (12) для G_i будет иметь вид

В связи с тем, что появление зависимости G_i(x_i)  обусловлено конечностью скорости распространения волны в пространстве, мы имеем право выразить x_i  через временную характеристику запаздывания волнового процесса t_i :

с. 238

Подставляя (15) в (14), получим

где c - скорость распространения волнового процесса. Как видно из (16), и амплитуда, и фаза G_i зависят от t_i , что находится в полном соответствии с графиком, приведенным на рис. 3. При этом амплитуда удельного потока зависит от отношения синуса аргумента t_i / 2 к самому аргументу, что определяет первый замечательный предел.

Рис. 3. Временные зависимости удельного потока через выделенный объем от размера данной области

Для определения дивергенции вектора на основе (16), согласно (2), достаточно найти предел G_i при t_i 0 . Проводя данную операцию для любого из выделенных объемов в момент времени t , получим

Таким образом, аналогично потоку вектора, дивергенция вектора (x, t)  также не обращается в ноль, причем выражение (4), полученное Левичем, в случае одномерного потока вектора и гармонической зависимости продольного вектора (, t) от времени, будет полностью соответствовать (17). Это с одной стороны подтверждает результат, полученный Левичем для векторного потенциала дипольного излучателя, но с другой стороны показывает более общий характер явления.