Archivum mathematicum

239 - 240

С.И. Каравашкин

с. 239

Следует еще раз отметить, что именно наличие фазы запаздывания волнового процесса приводит к тому, что мгновенные значения амплитуды вектора (x, t)  на противоположных площадках выделенных объемов оказываются различными. Из-за этого появляется зависимость потока вектора от размера выделенного объема. И это свидетельствует о том, что при нахождении дивергенции вектора в динамических полях, в общем случае, необходимо учитывать временную характеристику потока вектора. При переходе же к стационарным полям, т.е. при стандартных условиях стационарности полей 0 и/или c , правая часть выражения (17) автоматически обращается в ноль, тем самым входя в полное соответствие с существующими представлениями о дивергенции вектора.

3. Полное доказательство теоремы о дивергенции вектора в динамических полях

Обобщая исследование, проведенное выше для одномерного потока вектора, рассмотрим общий случай произвольного потока вектора (, t).

Рис. 4. Общий вид трубки потока поля, зависящего от времени

Пусть в некоторой связной однородной области без источников и стоков распространяется некоторый поток, вектор которого (, t) совпадает с направлением потока , как это показано на рис. 4, и зависимость его величины во времени определяется выражением

Для нахождения дивергенции вектора, как и ранее, воспользуемся стандартным определением (2) и стандартной методикой определения потока вектора через выделенный объем, но с учетом фазы запаздывания волнового процесса в пространстве. Выделим в некоторый объем V таким образом, чтобы торцы его совпадали с эквифазными поверхностями потока, а боковые стороны – с силовыми трубками тока. Тогда, с учетом конечности скорости распространения волны, мы имеем право записать

где l – длина выделенной силовой трубки, t - фаза запаздывания волнового процесса. Таким образом, на основе (19), с учетом вышерассмотренного частного случая, мы сразу установили связь между длиной выделенного объема и фазой запаздывания, и в дальнейшем будем учитывать этот фактор при проведении исследования.

Поверхность S , согласно постановке задачи, состоит из трех составляющих: S = S₁ + S₂ + S_l , где S₁, S₂ - торцевые поверхности, а S_l - боковая поверхность выделенного объема. С учетом постановки задачи и результатов предыдущего исследования, полный поток через поверхность S

с. 240

где (, t) = (, t) - (, t - t) . В выражении (20) сразу учтен временной сдвиг векторной функции, а также отсутствие потока через боковую поверхность.

Первый интеграл суммы (20), стоящей в правой части, не содержит фазового сдвига t . В рассматриваемом поле без источников и стоков он обращается в нуль, поскольку в этом случае становится справедливым условие для дивергенции векторной функции в стационарных потоках. Второй интеграл в правой части (20) в общем случае нулю не равен и может быть легко заменен на интеграл по объему. Для этого разобьем выделенный объем на p объемов, высота которых (вдоль линии тока) равна

где p - любое целое число, большее 1.

После этого подынтегральное выражение (, t) можно записать в виде

где _i(, t) = (, t - (i - 1)t) - (, t- i t) ; здесь 1 i p .

Взяв предел t 0 в выражении (21), придем к интегралу