Материалы, Технологии, Инструменты

6

С.Б. Каравашкин

где

Далее делается предположение, что  A_r может быть представлено произведением некоторой постоянной C на синус некоторого угла  _p , постоянного для данного значения _p (где p - номер разрешенной моды), т.е. для некоторой разрешенной круговой частоты возможных колебаний:

где C = const; _p = f (_p);  f - частота колебаний в линии.

Указанный параметр _p в свою очередь определяется из граничных условий (3), откуда следует:

Наконец, исходя из полученного значения _p , находят разрешенные круговые частоты свободных колебаний упругой линии  _p , подставляя (6) и (7) в (5):

Из приведенного короткого анализа сразу видно, что метод разрешенных мод способен давать точные решения только в случае свободных колебаний и только для линии с жестко закрепленными концами. Если в линии будут присутствовать вынужденные колебания, то моделирующая система дифференциальных уравнений не может быть сведена к системе алгебраических уравнений (4), поскольку хотя бы в одном уравнении этой системы будут присутствовать параметры внешней силы, нарушающие единообразие системы (4). А если хотя бы один из концов линии будет свободным, то, как будет показано в дальнейшем, мы не можем априори указать значение амплитуды колебаний на концах линии, поскольку в линиях с сосредоточенными массами, в отличие от известных решений для линий с распределенными массами, на свободных концах не будет наблюдаться максимум колебаний. Таким образом, как мы видим, ограничения, присущие методу разрешенных мод, достаточно существенны, что не позволяет говорить о полноте решения задачи о колебаниях упругих линий с сосредоточенными массами при помощи данного подхода.

Метод Крылова представляет второй подход к решению задачи и опирается на аппарат теории матриц. В его основу положен принцип сохранения энергии свободных колебаний системы связанных тел, который приводит к системе дифференциальных уравнений, аналогичной (1):

где a_jk , c_jk – постоянные параметры, характеризующие исследуемую систему тел;  q_k - положение k–го тела в обобщенных координатах; N - количество тел в исследуемой системе.

Далее в предположении, что

где A_k , – некоторые постоянные величины, характеризующие колебания системы тел, система (9) преобразуется к определителю типа

Сложность данного метода с точки зрения поиска точных решений заключается в том, что характеристическое уравнение (11) представляет собой алгебраическое уравнение 2N-й степени относительно , и следовательно, имеет 2N корней, т.е. 2N собственных значений _k (k = 1, 2, ..., N). При этом, как известно, точное решение алгебраического уравнения возможно получить только до N = 4 (в данном случае би-N-го алгебраического уравнения). Таким образом, матричный подход к решению данной задачи в случае свободных колебаний существенно ограничен малым числом связанных тел. В случае же вынужденных колебаний метод Крылова основывается на решении задачи для свободных колебаний, и поиск решения идет путем вариации постоянной. При этом спектр вынужденных колебаний естественным образом получается линейчатым. В то же время, как будет показано ниже, спектр вынужденных колебаний в конечных линиях имеет непрерывный характер с бесконечными резонансами на частотах, соответствующих собственным колебаниям системы тел. Кроме того, вынужденные колебания в конечной системе связанных тел имеют три режима, которые, естественно, не могут быть определены на основе собственных частот системы.

3. Анализ точных полных решений и проверка полученных результатов для конечных линий

В предыдущем пункте были указаны существенные ограничения, присущие существующим подходам. Они легко преодолеваются в рамках методики, на основе которой в [1] были получены полные точные решения для бесконечных упругих линий с сосредоточенными массами. Чтобы это продемонстрировать, рассмотрим в первую очередь решения, полученные по данной методике для конечной линии с незакрепленными концами – т.е. именно для той линии, точное решение для которой в общем случае не может быть получено ни методом разрешенных мод, ни методом Крылова при большом числе элементов.