Том 4 (1999), No 4, сс. 5-13

9

Решение для конечных упругих линий с сосредоточенными параметрами

Хотелось бы здесь упомянуть и еще об одном интересном свойстве полученных решений. Если в конечной линии на рис. 2 оставить всего один элемент, т.е.  n = 1, то i = 1 и решение (13) преобразуется к виду

То есть при уменьшении количества элементов линии до единицы, решение автоматически трансформировалось к выражению, описывающему движение одиночного элемента без связей. В дальнейшем мы неоднократно убедимся в свойстве решений трансформироваться от более сложных моделей к простым, причем это свойство является важным положительным качеством полученных точных решений.

3.2. Свободные колебания в линии с незакрепленными началом и концом

Как известно, свободным (свободным) колебаниям в упругой линии соответствует однородная система дифференциальных уравнений без внешней силы F(t) , а именно

Колебания в данной системе, в отличие от вынужденных колебаний, могут возникать не во всем диапазоне частот, а только в некоторой области, и спектр их будет дискретным. Для исследуемой модели с незакрепленными концами условия колебаний определяются выражением

где

Исходя из (30), собственные (разрешенные) частоты колебаний определяются выражением

В соответствии с разрешенными частотами (31), решение системы уравнений (29) имеет вид

Как видим, структура выражения для амплитуды колебаний (32) принципиально отличается от (6). В выражении (32) амплитуда представлена отношением тригонометрических функций со сложной системой угловых смещений, в то время как основа известного решения – выражение (6) имело вид обычной тригонометрической функции. Указанная структура характерна для всех линий, где имеют место процессы отражения - даже в полубесконечной линии, представленной в работе [1] – поскольку она является именно результатом учета процесса множественных отражений от границ. Вследствие этого появляется зависимость амплитуды колебаний от длины линии и от номера разрешенной моды, а не только от номера элементов, как в (6), что определяется знаменателем формулы (32).

Чтобы определить характер указанной зависимости, удобно, с учетом (30), преобразовать члены (32), характеризующие амплитуду колебаний в линии. При этом получим

Выражение (33) показывает, что с ростом номера моды знаменатель монотонно убывает, но в ноль не обращается, поскольку

Вследствие этого амплитуда монотонно возрастает, не достигая бесконечного значения при максимально возможной моде. С ростом количества элементов этот максимум амплитуды растет и обращается в бесконечность только при переходе к линии с распределенными параметрами.

Таким образом, мы видим, что при свободных колебаниях в линиях с сосредоточенными параметрами могут возбуждаться только конечные колебания, при том, что значения собственных частот совпадают с условиями резонанса (14) для вынужденных колебаний. На практике это означает тот известный факт, что если на конечную систему воздействовал некоторый единичный импульс, то в ней возникают конечные колебания, если же этот импульс будет повторяться с резонансной частотой, то это приведет к разрушению линии.

Кроме того, из приведенного анализа следует, что если в режиме свободных колебаний изменение амплитуды с номером моды имеет монотонный характер, то при вынужденных колебаниях в диапазоне периодического режима амплитуда может многократно достигать максимума и минимума в зависимости от длины и параметров линии. Данное различие проистекает из того, что спектр вынужденных колебаний имеет непрерывный характер, в то время как свободным колебаниям свойствен линейчатый спектр, что приводит к выделению монотонной дискретной выборки из непрерывной периодической зависимости.

В свете выявленных существенных различий между типами колебаний, следует обратить внимание на тот факт, что блочная структура решения (32) тем не менее аналогична (13).