Том 4 (1999), No 4, сс. 5-13

11

Решение для конечных упругих линий с сосредоточенными параметрами

Для апериодического режима при  >1

Наконец, для критического режима при  =1  решение имеет вид

Система уравнений, описывающая свободные колебания в исследуемой линии, отличается от (41) отсутствием в первом уравнении вынуждающей силы и имеет вид

Данные колебания возникают в упругой системе при условии

Исходя из (46), собственные частоты колебания определяются выражением

а уравнение колебаний имеет вид

По сравнению с линией со свободным концом, в приведенных решениях действительно произошли существенные изменения, хотя блочная структура в виде отношения тригонометрических функций сохранилась.

Изменения для вынужденных колебаний коснулись частоты резонанса, поскольку условия его появления приобрели вид

Аналогично и с условиями, определяющими минимум амплитуды:

Из условий (49) и (50) следует, что вследствие закрепления одного конца линии, в зависимости амплитуды от , произошло смещение максимумов и минимумов, но не на четверть периода, как можно было бы ожидать, а несколько больше, поскольку в левых частях этих выражений стоит величина (2n - 1 ) , а не 2n, как в (14) и (15). Данная разница исчезает по мере увеличения числа элементов линии и постепенного перехода к линии с распределенными параметрами. При обратном переходе данное различие невосстановимо.

Для свободных колебаний зависимость амплитуды от номера моды определяется условиями, которые можно установить после следующей трансформации амплитудной части решения (48) с учетом (46):

Полученное выражение (51) показывает, что с ростом номера моды p знаменатель выражения убывает аналогично (33). То есть амплитуда свободных колебаний, как и в линии со свободным концом, с ростом номера моды монотонно растет, достигая максимума при p_max , но для линии с сосредоточенными параметрами никогда не достигает бесконечного значения.

Для полноты анализа осталось убедиться в том, что представленные выражения являются решениями. И это несложно сделать путем прямой подстановки в любое из соответствующих уравнений моделирующих систем, по аналогии с ранее рассмотренными моделями. Для примера подставим (48) в предпоследнее уравнение системы (45). При этом получим: