Том 4 (1999), No 4, сс. 5-13

13

Решение для конечных упругих линий с сосредоточенными параметрами

В ходе анализа структуры полученных точных решений выявлено, что они содержат специфические слагаемые и множители, позволяющие каждому решению удовлетворять одновременно нескольким различным типам дифференциальных уравнений, входящих в моделирующую систему. Для конечных линий решения имеют общую структуру отношений тригонометрических функций типа синусов и косинусов, аргументы которых зависят от длины и параметров линии, частоты колебательного процесса и положения элемента в линии.

Полнота полученных решений определяется, с одной стороны, тем, что их совокупность удовлетворяет однородной и неоднородной системам моделирующих уравнений. С другой стороны, решения охватывают весь диапазон частот от нуля до бесконечности.

Для свободных колебаний в конечной линии характерен дискретный диапазон частот допустимых колебаний, в котором амплитуда колебаний монотонно возрастает с ростом номера моды, но в линиях с сосредоточенными массами никогда не достигает бесконечного значения. В противоположность этому, при вынужденных колебаниях в конечной линии, амплитуда с ростом частоты многократно достигает бесконечного значения, но никогда не обращается в ноль, и спектр колебаний непрерывен. При этом значения разрешенных частот свободных колебаний совпадают со значениями частот резонанса для вынужденных колебаний, и блочная структура решений одинакова.

Для конечных линий с сосредоточенными массами и незакрепленным концом амплитуда колебаний последнего элемента не равна максимальной, как это принято считать. Ее значение смещено на угол, равный . При переходе к линиям с распределенными параметрами указанное различие исчезает. В связи с этим конечные линии с сосредоточенными параметрами не могут корректно моделироваться линиями с распределенными параметрами, так как при предельном переходе исчезает ряд особенностей, невосстановимых при обратном переходе.

Литература:

1. Каравашкин С.Б. Точное аналитическое решение задачи о колебаниях в бесконечной одномерной упругой линии с сосредоточенными массами. Материалы, технологии, инструменты (НАН Беларуси), 4 (1999), 3, 15–23

2. Пейн Г. Физика колебаний и волн Москва, Мир, 1979, 389 с.

3. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики. МГИТТЛ, 1950, 368 с.

4. Савин Г.Н., Кильчевский Н.А., Путята Г.В. Теоретическая механика. Гостехиздат, 1963, 610 с.

5. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. Москва, Наука, 1970, 447 с.

Поступила в редакцию 21.06.1999