Материалы, Технологии, Инструменты

20

С.Б. Каравашкин

3. Анализ и проверка результатов, полученных для свободных колебаний

Как известно, выражения, описывающие свободные колебания, являются решениями однородной моделирующей системы уравнений. При этом предполагается, что линия обладает некоторой внутренней энергией, обеспечивающей нетривиальность решений для этой системы. В бесконечных линиях, даже при очень малых собственных колебаниях элементов, общая внутренняя энергия упругой системы будет бесконечной, поэтому для обоснования физической сущности процесса собственных колебаний целесообразно исходить не из общей энергии системы материальных тел, а из плотности энергии, которая в данном случае будет конечной. Учитывая это, для нахождения решений однородной системы уравнений необходимо задаться не просто начальными условиями, а некоторой функцией, описывающей колебания какого-либо выделенного элемента линии, удовлетворяющей определенным начальным условиям. В данном исследовании выберем k-й элемент, закон смещения которого во времени задан простой гармонической функцией типа

где A_k - амплитуда колебаний в линии.

Конечно, можно было бы, как в случае с вынуждающей силой, представить _k в виде колебания со сложной спектральной зависимостью амплитуды и фазы от частоты колебаний, но учитывая закон суперпозиции, для поиска общего решения однородного уравнения вполне достаточно ограничиться выбранным типом функции (35). Тем более, что при указанном упрощении значительно повышается наглядность, что немаловажно.

3.1. Полубесконечная линия

Однородная моделирующая система уравнений для полубесконечной упругой линии аналогична системе уравнений (4) без внешней воздействующей силы, т.е.

Как и неоднородная система уравнений (4), данная система имеет три решения, соответствующие периодическому при < 1

апериодическому при > 1

и критическому при = 1

режимам колебаний соответственно.

В периодическом режиме, в отличие от соответствующего режима для вынужденных колебаний, наблюдается стоячая волна, амплитуда которой зависит как от положения элементов в линии, определяемого индексом i, так и от номера k выбранного элемента, что для решений однородных уравнений является определенной неожиданностью с учетом того, что индекс k мы выбираем произвольно и никак не воздействуем на k-й элемент линии, поскольку в данной задаче исследуются именно свободные колебания. Тем не менее, от выбранных параметров зависят амплитуда и фаза колебаний во всей линии, что определяется знаменателем выражения (37). Причем при

в линии наблюдается резонанс, вследствие которого амплитуда колебаний становится бесконечной при том, что амплитуда колебаний k–го элемента сохраняется конечной и соответствует заданным начальным условиям.

С физической точки зрения это свидетельствует о том, что все свободные колебания являются результатом последействия каких-либо внешних возбуждающих сил. И именно от характеристик этих сил, от их точки приложения зависят и параметры колебаний, которые мы исследуем. Ведь из самого решения (37) видно, что, задавая любые частоты в рамках периодического режима и выбирая номер элемента линии в качестве k-го, можно получить стоячую волну любой амплитуды и фазы, поскольку спектр разрешенных частот свободных колебаний для полубесконечной линии непрерывен. А значит, для детерминированности процесса свободных колебаний в полубесконечной линии необходимо знать характеристики внешнего воздействия, предшествующего им.

Проведем проверку приведенного выражения (37) на соответствие моделирующей системе (36). Для этого достаточно проверить установление тождества в первом и произвольном i-м уравнении системы. Для первого уравнения системы в левой части имеем

в правой части имеем