Том 4 (1999), No 3, сс. 15-23

23

Точное решение задачи о колебаниях одномерной линии

Особо стоит вопрос о начальных условиях колебаний. Как следует из решений для вынужденных колебаний, начальные условия задаются параметрами внешней воздействующей силы, что вполне закономерно. При свободных колебаниях мы не можем ограничиться одним нашим желанием устанавливать то или иное значение начального условия, поскольку все определяется предысторией возникновения колебаний. Таким образом, чтобы получить необходимые начальные условия на заданном элементе линии, необходимо сформировать определенным образом внешнее возбуждение линии, предшествовавшее появлению свободных колебаний. В своей совокупности параметры внешней силы и предыстория свободных колебаний формируют те условия, которые мы привыкли называть начальными.

5. Выводы

  Проведенные исследования выявили ряд существенных недостатков в известном решении для одномерных упругих линий с сосредоточенными параметрами, не позволяющих считать это решение точным.

Точные аналитические решения, полученные с помощью оригинальной методики, показывают, что в общем случае в идеальных упругих линиях имеют место три существенно различных по своим свойствам режима колебаний.

Периодический режим характеризуется распространением вдоль линии прогрессивных незатухающих колебаний с фазой запаздывания от элемента к элементу, равной 2 .

Апериодический режим характерен быстро затухающим вдоль линии процессом, при котором соседние элементы линии колеблются в противофазе.

Критический режим характеризуется противофазным колебанием элементов, но в зависимости от типа линии может быть как затухающим, так и незатухающим, а для бесконечной линии этот режим отсутствует.

Все выявленные режимы колебаний являются различными формами общего решения, что полностью сохраняет справедливость теоремы о единственности решений дифференциальных уравнений.

Все три режима присущи как вынужденным, так и свободным колебаниям в бесконечных линиях.

Даже в рамках одного режима картины колебаний для вынужденного и свободного режимов существенно отличаются. Так, в периодическом режиме, в полубесконечной линии в первом случае распространяется прогрессивная волна, а во втором устанавливаются стоячие волны.

Решения для свободных колебаний показывают, что характер процессов в линии существенно зависит от параметров воздействия, предшествовавшего появлению колебаний.

В ходе анализа структуры полученных точных решений выявлено, что они содержат специфические слагаемые и множители, позволяющие каждому решению удовлетворять одновременно нескольким различным типам дифференциальных уравнений, входящих в моделирующую систему.

Полнота полученных решений определяется с одной стороны тем, что их совокупность удовлетворяет однородной и неоднородной системам моделирующих уравнений. С другой стороны, решения охватывают весь диапазон частот от нуля до бесконечности.

Литература:

1. J.Bazer. Multiple Scattering in Оne Dimension. J.Soc.Indust.Appl.Math., 12, 3, September, 1964

2. Григорьев Е.Т., Тульчинская Н.Б. Совместные продольные колебания неоднородных стержней с упруго прикрепленными к ним в нескольких сечениях системами дискретных масс. - // Колебания сложных механических систем. Сб.науч.тр. АН УССР, Ин-т техн. механики. – Киев, Наукова думка, 1990, 149 с.

3. Пейн Г. Физика колебаний и волн. – Москва, Мир, 1979, 389 с.

4. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – Москва, Наука, 1969, 424 с.