Материалы, Технологии, Инструменты

22

С.Б. Каравашкин

Вместе с тем следует отметить, что и для периодического режима свободных колебаний в полубесконечной линии имеет место соответствие с конечными линиями, для которых, как известно, характерны колебания в виде стоячих волн. Это обусловлено тем, что полученные решения описывают стационарные процессы, при которых каждый элемент линии обладает некоторой конечной колебательной энергией, вследствие идеальности линии не рассеивающейся во времени и не передающейся другим элементам, поскольку соседние элементы обладают аналогичной энергией. А значит, в этом аспекте различие между конечной и бесконечной линиями исчезает. Хотя суммарная энергия колебаний для конечной и бесконечной линий будет различна.

3.2. Бесконечная линия

Однородная моделирующая система дифференциальных уравнений для бесконечной линии имеет вид

Как и в предыдущих случаях, свободные колебания в бесконечной линии могут осуществляться в трех стандартных режимах со стандартными условиями их появления.

В периодическом режиме при < 1

свободные колебания в линии имеют вид стационарной бегущей волны, которая может распространяться как в направлении возрастания номера элементов (при знаке минус перед фазой запаздывания), так и по убыванию элементов (при знаке плюс). При этом амплитуда колебаний во всем разрешенном диапазоне частот постоянна и определяется начальными условиями задачи. В общем случае в периодическом режиме может возникать и стандартная волна, если по начальным условиям - или, точнее, по параметрам предшествующего воздействия - решение имеет форму суперпозиции двух вышеописанных противоположно направленных волн. В определенной мере это объединяет решения для периодического режима в бесконечной и полубесконечной линиях.

В апериодическом режиме при > 1

также возможны два противоположно направленных затухающих процесса в линии, которые на основании трактовки, приведенной выше, соответствуют энергии, введенной в систему в плюс- или минус- бесконечной точке линии, поскольку _- < 1 , а значит, убывание колебаний будет происходить при i > k , в то время как  ₊ > 1 и, следовательно, убывание будет происходить при i < k. Примечательно, что при условиях, аналогичных указанным в начале данного пункта, когда общее решение представимо в виде суперпозиции вышеописанных решений, в линии будет формироваться волна сложного типа, амплитуда которой растет от k-го выделенного элемента в обе стороны, а в области этого элемента будет иметь место процесс, близкий к стоячей волне.

В критическом режиме при = 1

наблюдаются противофазные колебания элементов с постоянной амплитудой вдоль всей линии. Кроме того, следует обратить внимание, что для вынужденных колебаний в бесконечной линии критический режим отсутствует.

Следует отметить, что все приведенные решения, как и в предыдущем анализе, удовлетворяют однородной моделирующей системе уравнений.

4. Полнота и границы применимости решений

В пунктах 2 и 3 работы приведен анализ решений, описывающих соответственно вынужденные и свободные колебания в линии. При этом решения были получены для установившихся колебаний, что определяется в случае вынужденных колебаний характером внешней силы, воздействующей на линию, и в случае свободных колебаний – гармоническим характером колебаний k-го элемента. При начале или окончании действия внешней силы, в линиях, как известно, возникают переходные процессы, которые могут быть смоделированы на основе принципа суперпозиции колебаний, составляющих спектр переходной функции. С этим расширением полученные решения способны описывать широкий диапазон моделей сложных переходных процессов. Именно благодаря тому, что решения точны и аналитичны, появляется возможность исследования, например, трансформации фронта волны в процессе ее распространения вдоль линии при задании самого сложного спектрального состава импульса, и другие задачи.

Полнота полученных решений определяется, с одной стороны, в соответствии с [4, с. 115] тем, что в своей совокупности они удовлетворяют однородной и неоднородной системам дифференциальных уравнений. С другой стороны, решения охватывают весь диапазон частот от нуля до бесконечности. Причем в отличие от известных решений (2), полные решения имеют достаточно сложную и многообразную форму, которая изменяется в зависимости от параметров как воздействующей силы, так и самой системы материальных тел.