Том 4 (1999), No 3, сс. 15-23

21

Точное решение задачи о колебаниях одномерной линии

Для произвольного i-го уравнения системы в левой части 

в правой части

Таким образом, выражение (37) полностью удовлетворяет всем уравнениям моделирующей системы (36).

  В апериодическом режиме (38) наблюдаются характерные противофазные колебания элементов линии, но в отличие от соответствующего режима для вынужденных колебаний (7), затухание амплитуды имеет место только в интервале между концом линии и выделенным k-м элементом. Характер затухания представляет собой не быстрозатухающий процесс, а распределяется вдоль всего интервала, что характерно для конечных линий. В полубесконечном интервале i k амплитуда растет по сложному степенному закону, поскольку в этой области степень числителя дроби в (38) больше степени знаменателя.

Полученная картина свободных колебаний не соответствует существующим представлениям о свободных колебаниях. Причем следует отметить, что до сих пор для колебаний в бесконечных линиях с сосредоточенными массами существовало только решение (2). О том, что может быть три режима колебаний, и тем более, что могут существовать отличающиеся друг от друга вынужденные и свободные колебания, никто не предполагал. Но вышеуказанный характер свободных колебаний в апериодическом режиме, когда в бесконечной линии возникают стоячие или затухающие волны в полной аналогии с конечными линиями, тем более является неожиданным с точки зрения существующих представлений о свободных колебаниях в целом. Тем не менее несложно убедиться, что представленное выражение и в данном случае является решением однородной системы (36).

Для первого уравнения системы имеем:

в левой части

в правой части 

Для i-го уравнения имеем:

  в левой части

в правой части

То есть с математической точки зрения решение полностью соответствует моделирующей системе.

  В критическом режиме, как и в апериодическом, также наблюдаются существенные расхождения как с решениями для вынужденных колебаний, так и с представлениями о свободных колебаниях в линии. Выражение (39) описывает линейно затухающие от элемента к элементу колебания в области i k и линейно возрастающие колебания в области i k . При этом с математической точки зрения выражение (39) полностью удовлетворяет однородной моделирующей системе (36).

Неожиданный характер картины колебаний, описываемых решениями (38) и (39), соответствует явлению, когда бесконечная энергия, необходимая для возбуждения бесконечной линии и возбуждающая закритические колебания, введена в систему в бесконечной точке линии. Тогда, по аналогии с конечными линиями, в полубесконечной линии будут распространяться затухающие противофазные колебания от точки введения энергии к противоположному концу линии. При этом представлении конечность линии не имеет значения, поскольку сам процесс затухания колебаний в апериодическом и критическом режимах означает не рассеяние, а перераспределение энергии колебаний вдоль линии. И только в данной трактовке решения (38) приобретают физический смысл. Периодический режим вышеописанной условности не требует, хотя требование обладания линией бесконечной энергией для возбуждения конечных свободных колебаний сохраняется. Без этого условия можно говорить об отсутствии в бесконечной линии свободных колебаний, а линию считать диссипативной по отношению к любым конечным импульсам энергии.