т.6 No 1

23

Уточнения понятия энтропии макросистемы

Для расчёта возьмём некоторый шарообразный объём газа, например, молекулярного водорода, удовлетворяющий условию Шкловского (8). Для этого предположим, что масса этого газа равна M_cloud = 10 M = 1,99110³⁴ г и начальная температура T = 4^o K. Тогда радиус данного шара будет равен

Предполагая, что до начала сжатия газ был равномерно распределён по объёму, мы можем определить исходное давление газа, знание величины которого нам необходимо будет при последующих расчётах. Учитывая большую разреженность газа в межзвёздных облаках, мы можем считать газ идеальным и определить его давление на основе законов газовой динамики 

где R = 8,31696 дж/ градмоль - газовая постоянная, m_m = 21,0079 г/ моль - молярная масса молекулярного водорода. Подставляя в (18) известные значения, получим p₀ = 2,1510^-14 Н/ м² = 2,8610^-12  мм.рт.ст. Полученное значение исходного давления подтверждает справедливость исходного предположения о возможности представления газа в объёме как идеального.

  Теперь предположим, что газ в объёме без внешних воздействий, но исключительно под действием собственного гравитационного поля квазистатически сжимается к центру. Учитывая изолированность газа от внешних воздействий (по условию), а также то, что в процессе сжатия ни один из параметров газового континуума не поддерживается постоянным, мы можем предполагать адиабатический характер процесса. При этом как минимум на этапе первичного сжатия облака будет выполняться условие

где - постоянная Пуассона. Для двухатомного газа, которым является молекулярный водород, = 1,4.

Для дальнейших расчётов нам желательно видоизменить выражение (19), записав его в виде связи между давлением и плотностью вещества. Для этого выделим некоторый бесконечно малый объем v сжимающегося газа. Для него, учитывая (19), будет справедливо равенство [19, с. 21]:

где p₀ - величина начального давления в выделенном объёме v₀ . При этом, поскольку масса газа в объёме не изменилась, справедливо равенство 

где ₀ - начальная плотность газа в объеме v₀ и m – масса данного объёма газа. Объединяя (20) и (21), получим 

т.е. искомую связь.

При нахождении связи между давлением и плотностью газа мы предполагали, что все выделенные малые объемы облака трансформируются в процессе перераспределения вещества. При этом мы должны учесть, что подобные трансформации неизбежно должны приводить и к соответствующим смещениям этих выделенных объемов вдоль радиуса. Для того, чтобы учесть данный фактор, возьмем некоторый малый выделенный объем, высотой r_0i , расположенный на расстоянии r_0i от центра, к которому стягивается вещество облака, как показано на рис. 4, и рассмотрим с учетом центральной симметрии задачи его смещение на радиус  r_1i с одновременной трансформацией, до высоты объема r_1i .

  Рис. 4. Схема расчета трансформации выделенного объема при перераспределении вещества облака

Поскольку задача центрально-симметрична, а выделенный объем является частью некоторой тонкой оболочки, высотой r_0i , расположенный на расстоянии r_0i от центра, то мы можем расширить анализ для вышеупомянутой оболочки. Для неё мы можем записать, что если вначале её высота была r_0i , а после перераспределения вещества - r_1i  и при этом сама оболочка сместилась на радиус  r_1i , то в соответствии с адиабатическим характером процесса

где p_0i  и   p_1i  – давление в объеме до и после перераспределения вещества облака. Естественно, что все элементарные объемы, составляющие оболочку, будут трансформироваться по тому же закону, а следовательно, мы можем далее использовать зависимость (23) для исследования элементарного объема.

  Далее отметим, что величина r_1i , входящая в (23), учитывает, что одновременно с трансформацией выделенного объема происходит трансформация и всех объемов вдоль радиуса облака, поскольку в отсутствии этой сопутствующей трансформации сам выделенный объем не смещался вдоль радиуса, но только изменял свою высоту. Но если после перераспределения высота нижерасположенных по отношению к i-му объему стала r_1j , то можно записать:

где 

и принимается положительным при сжатии выделенного объема.