т.5 No 1

47

Классический поперечный доплер-эффект

2. Моделирование нецентрального движения источника и наблюдателя в рамках классического формализма

Для того, чтобы провести корректное сравнение решений классической и релятивистской модели, возьмём за основу постановку задачи, которую представил Паули [2]. Единственно, мы не будем удалять источник в бесконечность, а предположим конечное взаимное расположение источника и приёмника. Это нисколько не изменит паритета, поскольку релятивистские сокращения движущихся систем отсчёта не зависят от расстояния между ними, а значит, введенное Паули ограничение, в сущности, излишне. Скорее всего, оно обусловлено попыткой привязки к реальной ситуации, в которой, как обычно, за неподвижные выбирают именно очень удалённые объекты. Это предположение подтверждает и то, что полученное Паули общее решение анализируется при различных мгновенных углах между источником и приёмником, что было бы логически невозможно при значительном удалении источника от приёмника.

Итак, пусть имеется некоторая неподвижная система отсчёта XOY, в начале которой расположен сферический источник периодических световых импульсов S. Интервал между импульсами в системе XOY равен T. Учитывая особенности классического формализма, будем предполагать, что скорость распространения световых импульсов постоянна в неподвижной системе отсчёта и равна скорости света в свободном пространстве c.

Кроме того, пусть имеется некоторая движущаяся система отсчёта X'O'Y', с которой связан наблюдатель N, принимающий сигналы, излучаемые источником S. Пусть эта система отсчёта движется по прямой, параллельной оси x со скоростью v  в направлении положительных x, как показано на рис. 2.

Рис. 2. Схема для расчёта эффекта Доплера при нецентральном движении приёмника по отношению к наблюдателю

Также предположим, что траектория движения наблюдателя пересекает ось Y неподвижной системы XOY на расстоянии H от начала координат.

Чтобы определить степень трансформации временного интервала между импульсами, принимаемыми движущимся наблюдателем, рассмотрим задачу с точки зрения последовательности встречи указанного наблюдателя с фронтами волн, распространяющихся от источника.

С этой точки зрения, пусть в некоторый момент времени t₁ траектория наблюдателя в точке N₁ пересекается с некоторым фронтом волны импульса источника. Но для того, чтобы подобная встреча стала возможной, источник излучил световой импульс раньше, в момент

Следующий импульс источник излучил через интервал времени T и фронт волны этого импульса пройдёт до встречи с наблюдателем в точке N₂ расстояние r₂. Таким образом, общий баланс времени для расчёта момента встречи наблюдателя с фронтом второго импульса будет иметь вид

В это же время, наблюдатель вместе со своей штрихованной системой отсчёта смещается из положения N₁ в положение N₂. При этом время, которое зафиксирует наблюдатель, естественно, будет равно интервалу между импульсами  T', которые он принимает и которые в общем случае не равны T. Поэтому с точки зрения наблюдателя мы имеем следующий баланс времени t₂: