т.1

77 - 78

О производной комплексной функции

О некоторых особенностях производной комплексной функции по комплексной переменной

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

Специализированная лаборатория фундаментальных исследований СЕЛФ

e-mail: selftrans@yandex.ru , selflab@mail.ru

Эта статья является вводной для монографии, посвященной новой области теории комплексных переменных - неконформным отображениям. Этот новый оригинальный метод позволяет связать математические модели, к которым применимо линейное моделирование, с нелинейными математическими моделями, то есть со случаями, когда функция отображения не аналитична в общепринятом смысле Коши - Римана, но аналитична в общем смысле и обладает всеми необходимыми критериями аналитичности, за кроме прямого удовлетворения уравнениям Коши - Римана. В качестве примера приводится точное аналитическое решение уравнения типа Бесселя в непрерывном диапазоне независимой переменной.

Ключевые слова: Теория функций комплексного переменного; Неконформные отображения; Квазиконформные отображения; Функции Бесселя

Данная работа, при всей ее внешней простоте и очевидности некоторых утверждений, представляет собой попытку взглянуть на комплексную плоскость и преобразования, в ней осуществляемые, с несколько неожиданной точки зрения. Вернее, не столько сам подход будет неожиданным, сколько представление о комплексной функции будет расширено до границ, соответствующих наиболее общим определениям.

Прежде всего изложим определения:

“Говорят, что на множестве М плоскости Z задана функция

(1)

если указан закон, по которому каждой точке z из М ставится в соответствие определенная точка или совокупность точек W” [1, с. 17].

“Если положить z = x+ iy и w =  u+ iv, то задание функции комплексного переменного w = f ( z ) будет равносильным заданию двух функций двух действительных переменных

(2)

[1, с.17].

Как видно из определений, наиболее общее понятие функции комплексного переменного не ограничивается некоторой заранее обусловленной прямой связью между действительными переменными u(x, y) и v(x, y) .

78

В частности, функцией комплексного переменного являются и

(3)

и т.д., поскольку для приведения в соответствие (3) и (1) вполне достаточно представить х и у в виде