т.1

84 - 86

О производной комплексной функции

Рис. 3. Геометрическое построение в дополнение к рис. 2 для расчета приращения z  в комплексной плоскости Z

Как видно из (13), dz зависит только от одной действительной переменной и в то же время учитывает все частные дифференциалы в -окрестности z₀ . Это свойство дифференциала z наиболее наглядно проявляется при представлении z в полярной форме.

Покажем это. Рассмотрим треугольник ОАВ (см. рис. 3), образованный радиус-векторами

По теореме синусов

откуда

По теореме косинусов

Подставляя (17) в (16), получим

85

Учитывая, что

получим

Из (19) получим

86

Из приведенного вывода хорошо видно, что сама форма записи полного дифференциала dz с фиксированным значением направления взятия дифференциала - угла - превращает одну из независимых переменных - - в недифференцируемый параметр, зависящий только от положения точки, в которой ищется данный полный дифференциал, а второй дифференциал d не зависит от направления стягивания z z₀ и потому является дифференциалом в обычном смысле.