88 - 90

О производной комплексной функции

Чтобы перейти в выражении (24) от частной производной по к частным производным по х и у, необходимо произвести замену

25)

Учитывая, что из (20) следует

и подставляя последовательно эти выражения в (24), получим

(27)

Между прочим, промежуточное выражение (25) в случае справедливости условий Коши - Римана

перестает зависеть от угла . Последнее является одним из доказательств, что условия Коши - Римана по своей сути только определяют класс функций комплексного переменного, обладающих центральной симметрией.

89

Для того, чтобы записать форму второй полной производной функции комплексного переменного, достаточно использовать принцип двойного последовательного отображения

При этом, учитывая, что направления взятия первой и второй производной функции комплексного переменного в общем случае могут не совпадать,

Чтобы получить запись второй производной по z в координатной форме, подставим в (29) выражение для dw/dz из (27). После соответствующих преобразований получим

Для функций комплексной переменной, удовлетворяющих условиям Коши - Римана, вторая производна может быть найдена, если учесть, что согласно (25) и (26), комплексным аналогом уравнений Коши - Римана является равенство

90