80 - 81

О производной комплексной функции

Рис. 1. Возможное отображение точек z₁ и  z₂ , принадлежащих -окрестности комплексной плоскости Z, в точки w₁ и w₂ , принадлежащие -окрестности комплексной плоскости W

С учетом вышеприведенных определений, рассмотрим некоторую комплексную функцию f ( z ), осуществляющую однозначное отображение -окрестности точки z₀ комплексной плоскости Z на -окрестность точки w₀ комплексной плоскости W (см. рис. 1).

Выберем в -окрестности точки z₀ две точки z₁(x₁, y₁) и z₂(x₂, y₂) . Согласно определению комплексной функции, им будут соответствовать некоторые точки отображения в комплексной плоскости W: w₁(u₁, v₁) и w₂(u₂, v₂) . Причем, согласно условию однозначности отображения, если

(7)

Образуем разности между выделенными точками z₁, z₂, w₁, w₂ и  z₀, w₀ соответственно:

81

С учетом (7) в общем случае

В то же время

Таким образом, даже из условия

не следует в общем случае