СЕЛФ

81 - 83

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

Последнее обусловлено тем обстоятельством, что неравенство (5) неспособно зафиксировать равенство скоростей стягивания w w₀ , поскольку -окрестность выбирается, как правило, по наиболее удаленной точке w ( z ) , соответствующей z , лежащей в -окрестности  z₀ .

82

Если же оконтурить действительную границу отображения z w , то в зависимости от f ( z ) она может принять любые сложные формы (например, () на рис. 1).

Непостоянство же скорости стягивания w w₀ в зависимости от направления стягивания приведет к тому, что отношение

становится зависимым от направления стягивания w w₀ .

83

Как известно, выражение (9) определяет полную производную комплексной функции f ( z ) по комплексному аргументу z, которая, как явствует из проведенного анализа, является комплексным аналогом производной по направлению в векторной алгебре.

Для выявления характерных особенностей комплексной производной определим дифференциалы z и w.

Для определения дифференциала z выделим в комплексной плоскости z -окрестность точки z₀   (см. рис. 2). Выберем в этой -окрестности точку z₁(x₁ , y₁ ) и пусть

Рис. 2. Диаграмма для расчета приращения z в комплексной плоскости Z

Из построений на рис. 2 видно:

Устремляя z₁ z₀ , в пределе получим с учетом (10)