т.5 No 1

5

Дополнение к исследованию классического поперечного эффекта Допплера в связи с поступившей критикой

Если решать задачу о продольном эффекте Доплера с условием, что источник и приёмник движутся соответственно с некоторыми скоростями v и u относительно неподвижной системы отсчёта, то общее решение будет иметь вид, описанный ниже.

Пусть имеется некоторая неподвижная система отсчёта XOY, вдоль оси x и в направлении положительных x которой со скоростями v и u движутся источник A и приёмник B, как это показано на рис. 6.

Рис. 6

Пусть источник в процессе своего движения излучает последовательность узких тактовых импульсов с периодом T_A, длительностью которых мы можем пренебречь. Последнее ограничение по длительности импульса обусловлено дополнительной систематической ошибкой, возникающей при приёме импульсов конечной длительности, но её можно существенно уменьшить, если приёмником будет фиксироваться импульс по переднему или по заднему фронту, т.е дифференциально. Также предположим, что скорость распространения световой волны относительно неподвижной системы координат постоянна и не зависит от скоростей источника и приёмника.

Опираясь на данную постановку задачи, предположим, что в некоторый момент времени t₀ источник и приёмник располагались в точках x_A0 и x_B0 относительно неподвижной системы отсчёта и в этот момент источник излучил импульс. Если чисто формально подходить к расчёту времени, за которое этот импульс достигнет приёмника, получим

Идя этим путём, мы прямо выходим на формулу (1) Вашей работы. Но насколько эта формула является общей? Оказывается, что феноменология физических процессов способна существенно скорректировать вполне очевидное математическое построение (14). Действительно, думается, Вы не будете отрицать, что не можете посылать сигналы в прошлое, точно так же, как и приёмник не может принимать сигналы, которые ещё не илучены источником и не прошли соответсвующее расстояние между источником и приёмником. В связи с этим к вышеприведенному выражению (14) добавляется условие

В свете этого заметим, что числитель правой части (14) в общем случае может принимать как положительные, так и отрицательные значения. В частности, последнее возможно при условии

т.е. в случае, когда начальная координата приёмника меньше начальной координаты излучателя. И этот случай в равной степени реален, как и случай

при котором выражение (14) непосредственно справедливо. С учётом выявленного нюанса, правильная запись (14) будет иметь вид

Рассмотрим в отдельности оба возможных случая, следующих из (18). При

имеем

т.е. тот результат, который заложен в представленную Вами формулу (1Вашей работы). При

имеем

что вполне ассоциативно, поскольку в данном случае наблюдатель догоняет источник сигнала.

С учётом (20) и (22) мы можем уточнить условия (19) и (21), при которых эти результаты были получены. Подставляя (20) в (19), получим

Если u < c , что характерно для ЭМ волн, то (23) преобретает вид

Аналогично, подставляя (22) в (21), получим

или

Как видим, условия (19) и (21) существенно упростились и свелись к соотношению между начальным положением источника и приёмника синхроимпульсов, что полностью согласуется с феноменологией процесса. С учётом этого, выражение (18) можно записать в виде