т.2 No 1

71

Некоторые особенности моделирования вынужденных колебаний

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

Специализированная Лаборатория Фундаментальных Исследований SELF

e-mail: selftrans@yandex.ru , selflab@mail.ru

Это третья базовая статься из большого цикла, посвящённого новому методу получения точных аналитических решений для упругих колебательных систем с сосредоточенными и распределёнными параметрами. Её исходная версия была опубликована в журнале Национальной Академии Наук Белоруссии "Материалы, технологии, Инструмент" 5 (2000), 3, сс.14-19. В публикуемой здесь версии мы существенно изменили оригинальную часть статьи, поэтому читатель может воспринимать её как доработанную версию опубликованной статьи. Кроме того, мы существенно расширили анализ существующих методов, который более ёмко показывает что именно улучшает в технологии расчётов наша методика, представленная в уже опубликованных и предполагаемых к публикащии статьях

Реферат

Проведен обзор существующих методов расчета систем, моделирующих колебания одномерной упругой линии с сосредоточенными параметрами, в сравнении с новым нематричным методом получения точных аналитических решений для подобных систем. Рассмотрены особенности, возникающие при воздействии внешней силы на внутренние элементы такой системы. Проанализированы условия предельного перехода к линиям с распределенными параметрами и выведены условия, при которых линии с сосредоточенными параметрами могут моделироваться при помощи линий с распределенными параметрами.

Ключевые слова: математическая физика; волновая физика теория системы многих тел; обычные дифференциальные уравнения;  конечные деформации; теория колебаний; динамические системы

1. Введение

Характерной особенностью колебательных процессов является большое разнообразие форм при сравнительно небольшом числе влияющих параметров – таких, как масса элементов системы, жесткость связей, вид диссипативных сил и т.д. Это в значительной мере обусловлено зависимостью колебаний от конструкции модели, что приводит к необходимости использования широкого спектра базовых моделей для описания процессов. Даже наиболее общая классификация подразделяет модели на одномерные и многомерные, однородные и неоднородные, с одной и со многими степенями свободы, с сосредоточенными и распределенными параметрами, конечные и бесконечные, с диссипацией энергии и без, на свободные и вынужденные колебания в упругих системах, и т.д. Для каждого из перечисленных типов базовых моделей существуют свои особые подходы к решению задач, и для большинства из типов моделей даже несколько подходов, которые часто дают нестыкующиеся результаты. Более того, большинство методов имеет очень узкую специализацию, что существенно затрудняет общее исследование закономерностей колебательного процесса. Как будет показано ниже, методы, применяемые для распределенных упругих систем, не могут дать точных полных решений для всего комплекса моделей с сосредоточенными параметрами; методы, применяемые для бесконечномерных моделей, неприменимы к конечномерным, и т.д.

Многие методы, которые мы в настоящее время считаем аналитическими, по сути, скорее могут быть отнесены к численным методам и не дают полной картины динамического процесса во всех его взаимосвязях. С целью преодоления указанных недостатков, разработан оригинальный прямой нематричный метод получения точных аналитических решений. В частности, в [1], [2], [3] представлены некоторые результаты, полученные для конечных и бесконечных упругих линий с сосредоточенными параметрами. Их рассмотрение базировалось с одной стороны на том, что представление новой методики удобно начинать с простых моделей, которые в некоторых частных случаях могут сравниваться с уже имеющимися результатами. С другой стороны, “с технической точки зрения важен частный случай, когда осцилляторы включены последовательно таким образом, что nй осциллятор связан только с предыдущим (n - 1)м и последующим (n + 1)м осцилляторами. В качестве примера можно привести вал с насаженными на него дисками. При этом диски ведут себя как колеблющиеся массы, а упругая связь осуществляется расположенными между отдельными дисками частями вала” [4, с. 277]. Объединяющей особенностью рассмотренных в указанной литературе моделей было то, что внешняя сила всегда воздействовала на начало линии. Однако на практике очень часто встречается случай, когда внешняя сила воздействует на внутренние элементы. Это изменение оказывает существенное влияние и на характер решения, и на картину вынужденных колебаний, возбуждаемых в упругой линии.

В данном исследовании будут проанализированы возникающие в связи с этим особенности колебательного процесса и тем самым продолжено развитие решений, получаемых новым методом, на более сложные модели упругих систем.