СЕЛФ

82

С.Б. Каравашкин, О.Н. Каравашкина

Как и в предыдущем примере, воздействие силы на внутренний элемент линии раздвоило решение на два интервала. В интервале 1 i k в периодическом режиме образовалась стоячая волна с некоторой общей фазой запаздывания (2k - 1) , зависящей от номера выделенного элемента k, а в интервале k i сохранилась прогрессивная волна, амплитуда которой при заданных параметрах линии также зависит от номера k. Вследствие этого при

амплитуда прогрессивной волны обращается в ноль и колебания локализуются в квазиконечном участке линии, ограниченном концом линии и точкой приложения внешней силы. Вместе с тем, в отличие от конечной линии, колебания в квазиконечном участке неустранимы.

Данные различия находят отражение в диаграммах, приведенных на рис. 4.

Рис. 4. Диаграммы колебаний в полубесконечной однородной упругой линии при воздействии внешней силы на внутренние элементы линии. Слева - периодический, справа - апериодический режимы колебаний. Параметры линии: m = 0,01 кг; s = 100 Н/м; a = 0,01 м; n = 24; F₀ = 0,24 Н; f = 15 Гц - в периодическом режиме; F₀ = 0,06 Н; f = 31,8 Гц - в критическом режиме

Продолжая сравнение конечной и полубесконечной линий, следует отметить, что при k = 1, т.е. в случае воздействия силы на первый элемент линии, решения (58)- (60) трансформируются в соответствующие решения работы [2] с потерей множителей, специфичных именно для данной структуры обобщающей модели, что также делает обратный переход невозможным.

4. Особенность неоднородности линии в точке воздействия внешней силы

На приведенных примерах прослеживается ряд общих черт, обусловленных воздействием внешней силы на внутренние элементы линии. В обоих случаях точка воздействия играла роль неоднородности, на которой трансформировалась картина колебаний. Так, в конечных линиях благодаря ей сформировались два участка с различными картинами колебаний: в полубесконечной линии сформировалась квазиограниченная область со стоячей волной, а в бесконечной линии в [2] образовались две прогрессивные волны, распространяющиеся в противоположных направлениях, что и позволяет говорить об особенности неоднородности линии в точке воздействия внешней силы.

5. Параметры прогрессивной волны в бесконечных упругих линиях

Исследуя особенности моделей однородных упругих линий, следует обратить внимание еще на одну особенность, связанную с параметрами прогрессивных волн, распространяющихся вдоль бесконечных линий с сосредоточенными параметрами. Для указанных линий длина волны l имеет в определенной степени условный характер, поскольку она не всегда связана с конкретными сосредоточенными массами, т.е. далеко не всегда могут быть выделены два тела на расстоянии длины волны, колебания которых были бы синфазны. Тем не менее, само запаздывание фазы колебаний от тела к телу, равное 2 , фиксирует и определенную длину волны, которая вполне будет характеризовать процессы в линии.

Чтобы определить математически параметр , необходимо предположить, что на расстоянии длины волны от выделенного элемента линии находится некоторый фиктивный элемент линии, колебания которого были бы синфазны с выделенным элементом линии. При этом, учитывая, что расстояние между синфазно колеблющимися элементами (в случае незатухающих процессов) не зависит от амплитуды колебаний, длина волны определится выражением

На основании (62), скорость v распространения волны в линии определится выражением

Характерно, что в отличие от линии с распределенными параметрами, в исследуемых моделях скорость распространения колебаний не остается постоянной и зависит от частоты колебаний. Вследствие этого при подаче на вход линии механического импульса сложного спектрального состава, структура последнего не сохранится в процессе распространения вдоль линии. И только при << 1 скорость распространения стабилизируется, приходя в пределе к известному значению

При этом длина волны станет равной

что также соответствует известному значению.