т.2 No 1

83

Некоторые особенности моделирования вынужденных колебаний

Представленная зависимость фазовой скорости распространения волны от частоты, кроме того, значительно усложняет - вернее, делает невозможным прямое получение точных аналитических решений для воздействующих импульсов сложной формы, и в частности прямоугольных импульсов, без разложения последних в спектр. Это особенно важно учитывать в связи с тем, что многие авторы в настоящее время пытаются решать задачи динамики, задавая в постановке именно прямоугольные импульсы воздействия. Следовательно, подходя к решению задачи именно в такой форме, исследователи заранее себя обрекают на невозможность получить качественное решение.

При стремлении частоты колебаний ко второму граничному значению диапазона периодического режима, т.е. при 1

Соответственно, скорость

То есть при переходе к критическому, а далее к апериодическому режимам длина волны стремится к двум расстояниям между невозмущенными элементами линии, что соответствует противофазным колебаниям, которые наблюдались и в [2], и в данной работе. Аналогично и скорость распространения волны при предельном переходе не падает до нуля, а фиксируется на некотором предельном значении v_crit . Для иллюстрации вышесказанного, на рис. 5 приведены типичные зависимости () и v().

Рис. 5. График зависимости v(), () . Параметры упругой линии: m = 0,01 кг; s = 100 Н/м; a = 0,01 м; _crit = 200 с ^-1; _crit = 0,02 м

Более полное исследование групповой и фазовой скорости очень сложно проводить в рамках модели идеальной упругой линии, поскольку сама по себе противофазность колебаний элементов в критическом и апериодическом режимах еще не свидетельствует о том, что скорость распространения волны в этих режимах отсутствует. И это хорошо показано в [18] при анализе процессов распространения волны в линии с сопротивлением. Осуществляя предельный переход при уменьшении сопротивления линии до нуля, мы показали, что в идеальной линии фазовая скорость в апериодическом режиме линейно возрастает с ростом частоты от минимального значения (67). Групповая скорость в общем случае также будет существовать в области выше граничной частоты, но при переходе к идеальной линии ее значение действительно обращается в бесконечность. Именно последнее стало причиной неверных выводов, которые устоялись в литературе, о том, что в упругих линиях выше граничной частоты групповая скорость не существует. Ведь до сих пор ученые пользовались при составлении моделей отрывочными результатами, которые могли получить в отсутствии полных аналитических решений и только для идеальных линий (см., напр., [15]). Полные же аналитические решения показывают, что если линия имеет хотя бы бесконечно малое сопротивление, групповая скорость распространения волны будет в ней существовать, хотя и будет иметь очень большое значение. Более полно обо всех этих вопросах см. в указанной статье.

6. Предельный переход к линии с распределенными параметрами

Исследуя предельные переходы для параметров колебаний, с точки зрения практики моделирования процессов в линии важно определить условия, при которых элементы линии можно считать распределенными.

Чтобы их определить, рассмотрим параметр . В свете вышеопределенных и v, выражение (53) примет вид

где = m / a - плотность элементов линии, T = sa - натяжение в линии.

Т.к. переход к линии с распределенными параметрами осуществляется при 0 , искомое условие может быть записано следующим образом:

Учитывая, что скорость при переходе к линии с распределенными параметрами изменяется незначительно, неравенство (70) можно упростить, записав

откуда

Т.е. только при условии, когда длина волны в линии значительно больше расстояния между элементами линии, параметры последней могут рассматриваться как распределенные.