т.2 No 1

75

Некоторые особенности моделирования вынужденных колебаний

Переходя к анализу методик по определению вынужденных колебаний в упругой системе, следует в первую очередь отметить, что матричные методы могут быть подразделены на два базовых: метод прямого решения (см. напр. [7, с. 296- 297]) и метод с использованием нормальных координат (см., например, [5], [8, с. 539- 560]).

Согласно прямому матричному методу, ищется решение системы уравнений типа

в виде

“Эта система линейных неоднородных уравнений имеет следующее решение:

где (_e) - характеристический детерминант системы (20), взятый при значении _e , а  ^k (_e) - детерминант, полученный из характеристического уравнения заменой элементов k-го столбца, составленный из Q₁^e, Q₂^e, ... , Q_s^e ” [7, с. 296].

Решению (22) присущи те же проблемы, что и ранее рассмотренному матричному методу для определения свободных колебаний. Для упругих систем с большим числом элементов необходимо сначала численно определить все _e , а потом, опять-таки численно, определить детерминанты в выражении (22). То есть, по сути, данный метод также не является аналитическим, поскольку не указывает в аналитическом виде характера зависимостей колебательного процесса от частоты воздействующей силы и параметров системы.

Второй матричный метод основан на преобразовании исходных обобщенных координат системы к нормальным координатам:

где _a  - нормальные координаты. В этих координатах обобщенная сила будет иметь вид

.

“Воспользовавшись выражением кинетической и потенциальной энергии в нормальных координатах, найдем

[8, с. 539].

Уравнение (25) аналогично моделирующему дифференциальному уравнению для одиночного тела с идеальными упругими связями. “Уравнение (25) можно интегрировать, применяя символический метод интегрирования. Если P(t) - интегрируемая функция времени t₁ , то интеграл уравнения (25) можно представить в виде

где C_1a и C_2a - постоянные интегрирования, _a - частота свободных колебаний, t₀ - начальный момент времени. Член, содержащий функцию P_a(t) , является частным решением уравнения (25)” [8, с. 539].

Пользуясь данной методикой, А.Н. Крылов [6, с. 161- 173] рассмотрел задачу о вынужденных колебаниях вала с насаженными на нем n шестернями, как это упоминалось выше. При этом в случае, “когда в точках, для коих значения переменной х суть a₁, a₂ , a₃ , ..., a_n приложены силы Q₁, Q₂, Q₃, ..., Q_n и пары, коих моменты M₁, M₂, M₃, ..., M_n ” [6, с. 166], “уравнение упругой линии, когда конец вала x = 0 подперт будет,

Когда же этот конец заделан, то

и когда конец свободен,

(где S(x) = (1/2)(cosh x + cos x); T(x) = (1/2)(sinh x + sin x); U(x) = (1/2)(cosh x - cos x); V(x) = (1/2)(sinh x - sin x) - т.н. единичные матрицы, которые во многих своих работах применял Коши), функция  (x) во всех случаях одна и та же, определяемая формулой

Постоянные произвольные определяются по граничным условиям для конца вала, соответствующего значению x = 1 ” [6, с. 166].