т.2 No 1

77

Некоторые особенности моделирования вынужденных колебаний

Рассмотренный матричный метод, как и предыдущий, обладает всеми вышеописанными недостатками, поскольку “работает” только при известных значениях lumbdaa.gif (866 bytes), которые должны определяться численно. Но не только общность недостатков роднит методы. По сути, они являются вариациями одного подхода, поскольку с одной стороны, “так как характеристическое уравнение имеет 2s корней glumbdaa.gif (856 bytes), то gdeltabig.gif (839 bytes) (glumbdaa.gif (856 bytes)) можно представить в виде произведения

(35)

где а - некоторая постоянная” [7, с. 296]. С другой стороны, введение главных координат равносильно одновременному приведению двух квадратичных форм T и U  к каноническому виду [7, с. 266]. Из этого можно сделать вывод, что оба матричных метода способны в аналитическом виде предсказать только тот факт, что, “если затухание мало, то каждая амплитуда galpfa.gif (834 bytes)ke будет иметь s резонансных пиков на s частотах gomegacut.gif (835 bytes)c gequalitalike2.gif (830 bytes) gomegacut.gif (835 bytes)a (galpfa.gif (834 bytes) = 1, 2, ..., s). Эти максимумы обращаются в бесконечность, если диссипация энергии отсутствует, т.е. gmycut.gif (841 bytes)e garrow.gif (842 bytes) 0. В этом случае

(36)

[7, с. 297].

Точно так же существенными недостатками обладают и методы решения с использованием матриц Вороного, Теплица и т.д. В первую очередь это обусловлено тем, что несмотря на все попытки упорядочить указанные матрицы и привести их к диагональному виду, эти методы хорошо работают, если задана конкретная последовательность чисел p0 > 0, p1 equmore.gif (841 bytes)0, p2 equmore.gif (841 bytes)0 , ... . Тогда при условии [17, с. 120] можно пытаться найти решения. Но суть задачи заключается как раз в том, чтобы определить эти самые p0, p1, p2, ..., и в особенности  p0 , определяющие реакцию начала линии на внешнее воздействие. Для нахождения же этих параметров, даже в случае простых моделей, как показано в [2], нельзя воспользоваться априори некоторой стабильной фазой запаздывания, поскольку даже в случае полубесконечной и конечной линий параметры элемента линии, на который воздействует сила, будут различны. К тому же, эти методы, как и интегральные и классические матричные, видят только один режим - до граничных колебаний.

В противовес этому, точные аналитические решения, полученные оригинальным нематричным способом в [1], показывают не один, а три режима колебаний: периодический (omegacut.gif (838 bytes) < omegacut.gif (838 bytes)0) , критический (omegacut.gif (838 bytes) = omegacut.gif (838 bytes)0) и апериодический (omegacut.gif (838 bytes) > omegacut.gif (838 bytes)0) . В частности, для линии с одним закрепленным (правым) концом эти решения имеют вид:

при  omegacut.gif (838 bytes) < omegacut.gif (838 bytes)0

(37)
при omegacut.gif (838 bytes) = omegacut.gif (838 bytes)0

(38)
при omegacut.gif (838 bytes) > omegacut.gif (838 bytes)0

(39)
где deltabig.gif (843 bytes)i - мгновенное смещение  i-го элемента упругой линии, состоящей из n элементов; m - масса элементов линии; s - коэффициент жёсткости связей; F0 - амплитуда внешней силы; omegacut.gif (838 bytes)0 - граничная частота; Image760.gif (953 bytes); Image438.gif (1034 bytes); Image437.gif (1037 bytes); Image1171.gif (1033 bytes).

Сравнение (37)- (39) с (36) показывает их четкую детерминированность и по отношению к параметрам внешней силы, и в зависимости от параметров упругой линии, и в зависимости от частоты резонансов. При этом сложность анализа упругой линии не возрастает с ростом n . Эти решения очень просто могут быть продолжены и на линию с распределенными параметрами, что практически неосуществимо в аналитическом виде матричными методами. Внешне может даже появиться сомнение в надежности решений (37)- (39). Тем не менее, во-первых, как показано в [1], все решения (37)- (39) полностью удовлетворяют моделирующей системе дифференциальных уравнений, построенной стандартным образом. Во-вторых, наличие апериодического режима не является столь большой неожиданностью. Косвенные методы, несмотря на ограниченность области применимости и неполноту результатов, в частных случая также подтверждают физическую реальность этого режима колебаний. В качестве примера рассмотрим оригинальный косвенный метод, описанный К. Магнусом [4, с. 282- 285]. Для нас это тем более интересно, что Магнус, представляя указанный метод, также исследует конечную линию с закрепленным правым концом. В связи с этим появляется возможность сравнения результатов.

Магнус обратил внимание на связь между alphacut.gif (839 bytes) и etacut.gif (842 bytes) в выражении (17); правда, в этом выражении alphacut.gif (839 bytes) принимала дискретные значения (14). Кроме того, рассматривая вынужденные колебания, он снял закрепление с левого конца упругой линии (фильтра) и заставил его совершать периодическое движение

.

(40)

При этом он, естественно, нарушил одно из граничных условий, и это должно было привести к определенным проблемам. Обходя их, Магнус предположил, что “при этом в уравнениях движения (8) для отдельных масс ничего не изменится, и мы можем искать периодическое решение, обладающее такой же частотой, что и возмущение, и приходящее либо в фазе с возмущением, либо в противофазе с ним, положив

(41)

Содержание: / 71 / 72 / 73 / 74 / 75 / 76 / 77 / 78 / 79 / 80 / 81 / 82 / 83 / 84 / 85 /

Hosted by uCoz