СЕЛФ

48

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

К расчету колебательных систем со сложным резонансом

С.Б. Каравашкин, О.Н. Каравашкина

Специализированная Лаборатория Фундаментальных Исследований SELF

e-mail: selftrans@yandex.ru , selflab@mail.ru

Реферат

 На основе точных аналитических решений, полученных для полубесконечной упругой линии с резонансными подсистемами в виде линейной упругой линии с жёстко замкнутыми первым и последним элементами, проведен анализ характера колебательного процесса в линиях данной структуры. Установлено, что между первой граничной частотой для упругой линии в целом и граничной частотой подсистемы возникают резонансные пики, количество которых равно целой части [(n – 1)/2], где n – количество элементов в подсистеме. Данные резонансные пики возникают на границе между апериодическим и комплексным апериодическим режимами колебаний. Причём последний указанный режим является характерным именно для упругих систем с резонансными подсистемами. В простых упругих линиях его появление невозможно. Дано объяснение причины раздвоения резонансных пиков и показано, что возникающий в линиях данного типа эффект отрицательной меры инерции подсистем не противоречит законам сохранения. Тем самым, подтверждены и обоснованы представления по данному вопросу д-ра Скучика.

Получено хорошее качественное совпадение теоретических результатов с экспериментальными результатами, полученными д-ром Скучиком.

Ключевые слова: Волновая физика, Теория многих упруго связанных тел, Сложные резонансные системы, Обыкновенные системы дифференциальных уравнений.

1. Введение

“Классическая теория колебаний основывается на решении дифференциальных уравнений и на сшивании решений для различных частей системы на основе условий непрерывности. Любое незначительное изменение формы системы приводит к необходимости проводить все вычисления заново. Но вне всякой связи с трудностью вычислений следует заметить, что высокая точность классической теории иллюзорна. Материалы никогда не бывают совершенно однородными или изотропными и собственные частоты и распределения колебаний обычно заметно отличаются от того, что дает теория, особенно на высоких частотах” [1, стр.317].

В то же время “многочастотные резонансные системы интересны своими приложениями в аналитической и небесной механике, в гамильтоновой динамике, в теоретической и математической физике” [2, стр.173]. В частности, к таким задачам относятся задача о колебании дискретно-континуальной упругой системы [3], задача о механических колебаниях длинных молекулярных цепочек [1], исследование колебательных уровней молекул [4], колебания в решетках кристаллов [5], [6], [7], исследования в молекулярной акустике [8], в статистической механике квантовых систем [9], задачи оптимального управления [10] и т.д.

Из множества подходов к решению указанных задач можно выделить “такие широко известные методы теории колебаний, как методы теории возмущений, метод усреднения, аналитические методы разделения медленных и быстрых движений и т.д.” [10, стр.45]. По каждому из этих методов существует обширная база источников. Чисто матричным методам, в частности, посвящается исследование Тонг Кина [11]; решению путем нахождения рекуррентных соотношений - исследование Кухты и др. [3]; разностным методам – работа Аткинсона [12]; геометрическим методам – Палиса и Димелу [13], качественной теории – Рейссинга и др. [14]. Хороший обзор решений, полученных с использованием асимптотических методов, дан Митропольским и Хомой [15], Черепенниковым [16]. Методы, основанные на теории возмущений, хорошо изложены, в частности, Джакарильей [17] и Диментбергом [18]. Подходы, основанные на представлении упругой модели механическими резонансными контурами, достаточно полно описаны Скучиком [1].