т. 2 No 1

49

К расчету колебательных систем со сложным резонансом

Несмотря на широкий диапазон подходов к исследуемой проблеме, все указанные методы являются качественными, приближенными или численными. “Наличие нерегулярных границ в большинстве практических задач не позволяет построить аналитическое решение дифференциальных уравнений, и численные методы стали единственно возможным средством получения достаточно точных и подробных результатов” [19, стр.12]. “Даже для простейшего случая молекулы водорода Н₂ точный квантово-механический расчет постоянной квазиупругой силы представляет трудоемкую математическую задачу, а для более сложных случаев расчет силовых постоянных при помощи последовательных квантово-механических методов вообще практически невыполним” [4, стр.12]. “Другая трудность, связанная с методом коллективных движений, заключается в том, что он не дает возможности определить природу коллективного движения, исходя из вида гамильтониана. Мы должны угадывать подходящие коллективные переменные, а затем проверять, разделяется ли гамильтониан на коллективную и внутреннюю части” [9, стр.120].

Достаточно полный анализ проблем, возникающих в существующих подходах к исследованию моделей с многими резонансами, проведен Джакарильей [17], Рейссингом [14], Черепенниковым [16]. В частности, “старая проблема остается открытой. До сих пор никакие имеющиеся в нашем распоряжении “современные” методы не дают возможности вычислить действительные частоты нелинейной системы. Для приложений эта проблема остается нерешенной, так как в приближениях рядами, сходящимися или только формальными, может быть вычислено лишь конечное и, вообще говоря, очень небольшое количество членов. Пока нельзя найти способ выражения общего члена и суммы этих рядов” [17, стр.305]. Кроме того, “чтобы обеспечить сходимость ряда, иногда приходится предварительно полагать, что параметры дифференциальных уравнений, определяющие степень нелинейности, обладают достаточно малым модулем. По этой причине косвенный метод часто оказывается применимым только в узкой краевой области нелинейной механики. Другим недостатком этих методов является то, что они позволяют получать достаточно точную информацию об отдельных решениях, но не дают никакого представления о строении семейства решений в целом” [14, стр.12]. Последнее подтверждает и Джакарилья: “Другой проблемой, представляющей большой интерес, является вопрос о лучшем понимании решения “вдали, вблизи и при выполнении резонансных условий”. Когда мы в действительности будем иметь процесс захвата в резонанс и какое предпочтительное определение резонанса системы?” [17, стр.309]. “Точные аналитические методы предпочтительны в анализе, однако получение аналитических формул решения даже для сравнительно простых дифференциальных уравнений иногда сопряжено с большими трудностями” [16, стр.10].

В свете указанных недостатков существующих методов, наиболее точная качественная картина процесса представлена Скучиком. Согласно его подходу, “любую однородную систему, монолитную или состоящую из однородных частей и нагрузочных масс, можно строго представить в виде канонической схемы, а именно параллельного соединения бесконечно большого числа последовательно соединенных (механических) контуров, по одному для каждой формы собственных колебаний” [1, стр.317]. Однако, применение Скучиком матричных методов для решения систем дифференциальных уравнений в моделируемых им системах не позволило описать картину процессов в аналитической форме, поскольку, как известно, для сложных упругих систем матричный метод допускает только численные решения. В аналитической же форме анализ картины колебательного процесса в матричной записи практически невозможен. Указанный недостаток, свойственный, кстати, большинству существующих методов, не позволил также Скучику развить введенное им представление на случай многорезонансных упругих подсистем, в которых совокупность резонансных частот подсистемы определяется не набором механических резонансных контуров, а единой многорезонансной механической подсистемой, формирующей весь спектр резонансов подсистемы.

С появлением точных аналитических решений, представленных в работах [20] – [23], появляется возможность преодолеть ряд проблем в методе резонансных контуров и определить точные аналитические решения для некоторых упругих механических систем с многорезонансными подсистемами.

В данном исследовании мы рассмотрим наиболее простой случай полубесконечной однородной одномерной упругой системы с жёстко соединёнными крайними элементами резонансных подсистем. Хотя представленная задача и является частной, тем не менее, она достаточно часто встречается в инженерной практике. В частности, к ней сводятся задачи о колебаниях упруго связанных жёстких блоков, содержащих некоторую подструктуру из элементов, соединённых между собой и с блоком упругими связями. Кроме того, мы будем предполагать, что описанная методика может быть распространена на конечные и неоднородные упругие линии с резонансными подсистемами. Единственно, мы сразу усложним структуру подсистемы, представив ее упругой конечной линией, содержащей n масс, а следовательно, эквивалентной последовательно соединенным n контурам. Опять-таки, мы будем предполагать, что данная методика легко распространяется на случай ряда параллельно включенных подсистем вышеуказанного типа. Тем самым модель по своей общности фактически сведется к исследуемой Скучиком, но при более высоком уровне структурной организации резонансной подсистемы.