СЕЛФ

50

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

1. Методика нахождения точного аналитического решения

На рис. 1 представлена исследуемая полубесконечная 1Д упругая линия с сосредоточенными массами M и упругими связями s_g , на начало которой воздействует гармоническая сила F(t) . Как оговаривалось во введении, конечные элементы её подсистем соединены жёсткой связью.

Прежде чем приступать к исследованию системы в целом, рассмотрим изолированную подсистему, при воздействии на её начало некоторой гармонической силы F_i(t) . Схема данной линии, состоящей из n масс, соединенных связями с жёсткостью s_s , приведена на рис. 2а. Несложно увидеть, что данная система может быть представлена эквивалентной схемой, приведенной на рис. 2б, в которой жёсткая связь заменена второй силой, воздействующей на конец упругой линии. Здесь следует отметить, что подобная замена стала возможной вследствие полной симметричности подсистемы и жёсткости связи граничных элементов. В случае неоднородной подсистемы или неабсолютной жёсткости связи граничных элементов, подсистему вместе с главной системой удобно рассматривать как неоднородную линию. Это естественно требует и иного подхода, который избыточен для исследуемой задачи, и потому мы продолжим исследование, используя эквивалентную схему на рис. 2б.

Для нахождения точного аналитического решения для схемы на рис. 2б удобно воспользоваться результатами, полученными в [22] для однородной упругой конечной линии, на внутренний элемент которой воздействует гармоническая сила F(t) . В указанной работе для вынужденных колебаний представлены три решения в зависимости от соотношения между параметром _s = (²m/4s_s)^1/2 и единицей. Эти зависимости имеют вид:

для периодического режима (_s < 1)

(1)

(2)

(3)

где k  - номер элемента, на который воздействует внешняя сила,   p - номер исследуемого элемента линии,  _s  = arcsin _s  ; _s = (²m/4s_s)^1/2  ;  _s+ = _s + (_s² - 1)^1/2   ;  _{s -} = _s - (_s² - 1)^1/2, _p - мгновенное смещение p-го элемента подсистемы