СЕЛФ

6

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

Действительно, опираясь на четыре условия, сформулированные Эйнштейном для гравитирующего поля:

" 1. Все компоненты метрики не должны зависеть от времени x₄ .

2. Равенства g₄ =  g₄ = 0 должны выполняться строго при = 1, 2, 3 .

3. Решение должно быть симметричным в пространстве вокруг начала координат, т.е. переходить само в себя при ортогональном преобразовании координат  x₁,  x₂ , x₃  (вращении).

4. На бесконечности должны обращаться в нуль все величины g , кроме четырех, имеющих следующие отличные от нуля предельные значения:

[21, с. 200], Шварцшильд, недолго думая, вводит метрику следующим образом: "Если время обозначить через t, а прямоугольные координаты - через x, y, z , то очевидно, что наиболее общим линейным элементом, удовлетворяющим требованиям 1- 3, является следующий:

здесь F, G и H - функции величины r = (x² + y² + z²)^1/2 " [21, с. 201].

Из (14) мы видим, что Шварцшильд на основе стандартной прямоугольной системы координат ввел некоторую нелинейную метрику, в которой мера длины вдоль каждой из осей изменяется вдоль оси, да к тому же и время в каждой точке этой системы отсчета некоторым образом зависит от радиус-вектора. Возникает простой вопрос: а каковы основания для введения метрики именно в таком виде? Может быть, это обусловлено уравнениями (12)? Нет, до них рассмотрение еще не дошло, с ними Шварцшильд будет оперировать позже. Может быть, это определено условием 3 о сферической симметричности в пространстве? Тоже нет, и следующий шаг решения показывает это. На этом шаге Шварцшильд переходит к сферическим координатам по стандартным формулам ортогонального преобразования

При этом он приходит к новой, также нелинейной метрике

"При этом элемент объема в сферических координатах равен

так что якобиан преобразования от старых координат к новым, равен r²sin , отличен от единицы" [там же, с. 201]. Но прежде всего это не так. Согласно существующему математическому формализму тензорного анализа, в данном случае ортогональной метрики

Так что последующим своим шагом, вводя преобразование

Шварцшильд уже не мог удовлетворить равенству

поскольку он должен был удовлетворить иному равенству

Но если в нарушение условия равенства якобиана единице Шварцшильд даже и пошел на преобразование (19), то тут же снова попал в полосу следующего нарушения математического формализма, которая тянется с самого начала вывода. Ведь при введении новой нелинейной системы отсчета (19), метрика его приняла следующий вид:

или с учетом введенных им замен

Из (23) с учетом записанного им условия для определения

Шварцшильд приходит к системе равенств, определяющих f₁ ,   f₂ ,  f₃ :

Но из полученных доопределений (25) можно без нахождения уравнений поля сразу определить два исходных параметра G и H. Действительно, с учетом (22), (23) второе равенство в (25) может быть записано следующим образом:

откуда

С учетом (27), а также снова (22), (23), имеем на основе первого равенства (25)

откуда напрямую следует

Теперь с учетом (27) и (29) исходная метрика (14) принимает очень простой вид

который не требует ни дальнейшего нахождения потенциалов поля, ни столь неочевидных преобразований в нелинейных и неинерциальных системах отсчета, ни самих переходов в неинерциальные системы отсчета. Причем полученный результат однозначен и вполне ожидаем, поскольку задан условием для определения определителя, которым оперировал Шварцшильд. Ведь (30) практически идентична метрике Минковского для пустого пространства, отличие только в неопределенном метрическом тензоре