19

Волны сжатия в стержне

"Теоретически возможно решать любую задачу о колебаниях или о распространении напряжений в упругом теле, если к уравнениям

присоединить соответствующие граничные условия. Однако практически точные решения не получены даже в простейшем случае колебаний цилиндра конечной длины, хотя в этом частном случае можно построить решения, которые дают результаты, очень близкие к истине, когда длина цилиндра велика по отношению к его диаметру. Эта задача впервые исследована на основе уравнений упругости Похгамером [8] и независимо от него Кри [9]" [2, с.58].

Как несложно убедиться, система (7)-(9) по сути сводится к (2)-(4). А следовательно, если в общей задаче возникают некоторые вопросы к ее постановочной части, то они автоматически переносятся и на частный случай распространения волновых процессов в стержнях. Исследованию указанных проблем и посвящены были исследования, результаты которых приведены в предлагаемой статье.

2. Анализ особенностей поперечной деформации, сопутствующей продольной

Когда мы рассматриваем упругие свойства некоторой модели, обладающей конечными размерами, мы, как правило, в случае линейного моделирования отвлекаемся от ее подструктуры, усредняя свойства модели и описывающие ее параметры. Но при этом мы, конечно же, не должны забывать, что подобное усреднение допустимо только в тех пределах, пока оно не искажает физическую суть описываемых процессов. В случае пуассоновского коэффициента, "как показывает опыт, при растяжении бруска длина его увеличивается на величину l, ширина же уменьшается на величину  b = b - b₁. Относительная продольная деформация равна

… Опыты показывают, что для большинства материалов ₁ в 3-4 раза меньше " [10, с.38].

Однако существует и несколько видоизмененное определение данного коэффициента, на которое исследователи опираются значительно чаще. "Пуассона коэффициент - абсолютное значение отношения величины относительной поперечной деформации _yx =  _y /_x или _zx =  _z /_x, где _x , _y и _z - деформации по соответствующим осям (при растяжении образца вдоль оси x происходит сужение его поперечного сечения)" [11, т.4, с.245]. Из второго определения следует, что   должен быть всегда положительной величиной, независимо от того, соответствует сужение образца его растяжению или нет. И это очень важно, ведь при описании динамической математической модели мы не можем в математическом выражении подменить знак при коэффициенте деформации дополнительным словесным определением в скобках. Если растяжению образца соответствует именно его сужение, то знак коэффициента   обязательно должен быть отрицательным. Определение же коэффициента Пуассона через модуль отношений тензоров деформации приводит к тому, что в настоящее время существует целое направление исследования, изучающего возможность отрицательности коэффициента Пуассона для определённых материалов [12].

Но главное различие вышеприведенных определений заключается в том, что во втором определении сделано некоторое обобщение путем замены величины b, используемой в первом определении, на некоторую отвлеченную величину _y, _z . На первый взгляд все вполне естественно. Ведь действительно, при продольной деформации образца _x появляются некоторые деформации по y и z. Но особенность процесса сопутствующей деформации состоит в том, что b жестко связана с l и ею обусловлена. Это проявляется в первую очередь в том, что изменение диаметра образца b предполагает направленность сопутствующей деформации по радиус-вектору от продольной оси образца к его границе. Причём это характерно как для образца в целом, так и для любой его части. Если мы выберем любой элементарный объём исследуемого образца, то сопутствующая поперечная деформация в нём также будет сохранять указанную направленность по радиус-вектору, но уже в границах выделенного элементарного объёма. В противоположность этому, тензоры _y и _z описывают деформацию, направленную по y и z соответственно, но не по радиус-вектору от оси выделенного объёма к периферии. Это делает замену b на _y и _z неправомерной в самой основе моделирования процесса сопутствующей деформации.

Разрыв взаимообусловленности между продольной и соответствующей ей поперечной деформацией приводит не только к появлению в математическом моделировании трех независимых дифференциальных уравнений типа (2), (3), но и, обусловленных этим, противоречий с исходным определением коэффициента Пуассона. Действительно, из независимости уравнений следует, что не только скорости распространения продольной и сопутствующей ей поперечной волны будут различными, но и их фазы запаздывания также будут различны. В свою очередь, из этого следует, что на некотором расстоянии от источника продольные и поперечные колебания должны становиться противофазными и тогда продольному удлинению элементарного сечения образца будет соответствовать его утолщение, а сжатию - соответственно утонение, что впрямую противоречит и исходному определению коэффициента Пуассона и опытным данным. И при этом, согласно второму определению, параметр , независимо от вышеуказанной синхронности или противофазности процессов, будет оставаться положительной величиной, не реагирующей на подобные изменения, нарушающие физическую сущность процессов деформации твердого тела.