rod_rus22

СЕЛФ	22
С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

Полученное выражение (15) существенно отличается от известных решений как в амплитудной, так и в фазовой части. В амплитудной части вместо неопределенного коэффициента A, который, как известно, был основой для нахождения граничных условий, амплитуда колебаний, полученная на основе точных аналитических решений, четко детерминирована по отношению к частоте , плотности линии и жесткости линии T. Фаза колебаний отстает от фазы изменения внешней силы на / 2 , что определяется комплексной единицей в правой части выражения (15). В результате предельного перехода множитель (2n - 1) в (12) преобразовался в и исчезла тригонометрическая зависимость между и , что невосстановимо при обратном переходе от линии с распределёнными параметрами к линии с сосредоточенными параметрами. Кроме того, при предельном переходе параметр трансформируется следующим образом:

Вследствие этого в линии с распределенными параметрами для критического ( = 1) и апериодического ( > 1) режимов колебаний не будут выполняться не условия их существования во всем частотном диапазоне от нуля до бесконечности. Поэтому, если бы мы попытались осуществить обратный переход от (15) к (12), используя решения волнового уравнения, которому (15) естественным образом удовлетворяет, то это нам не удалось бы, как не смогли бы мы описать критический и апериодический режимы колебаний. Вместе с тем, чтобы получить (15) на основе волнового уравнения нам необходимо было бы выразить начальные и граничные условия через параметры внешней силы и упругой линии. Но, как известно, в качестве начальных и граничных условий мы можем задать только численные значения положения и скорости выделенного участка упругой линии. Следовательно, несмотря на то, что (15) удовлетворяет волновому уравнению, мы не можем это решение получить непосредственно из самого уравнения. Правда, в отдельных простых случаях можно получить решения для волнового уравнения с правой частью [16, стр. 264-266], но при усложнении начальных условий (например в неоднородных линиях [см. например 17] или линиях с упруго закреплённым концом [см. например 18]) данные частные методики также оказываются неработоспособными. Находя же решение путём предельного перехода, мы всегда будем получать точные детерминированные решения. На основе полученного решения определим зависимость линейной плотности линии (t). Для этого необходимо учесть, что является строго действительной величиной, а следовательно, подставлять (12) в (13) непосредственно нельзя. Для реализации подстановки, представим закон изменения внешней силы в виде
	(17)
где ₀ - некоторая начальная фаза. При этом решение (12) примет вид
	(18)
Подставляя (18) в (13), получим
	(19)
где .
Как видно из (19), хотя в данной задаче рассматривается линейная модель упругой линии, тем не менее, зависимость (t) имеет несинусоидальный, хотя и периодический, характер. Более того, при F₀ = T в стержне образуются разрывы, означающие нарушение плотности, и это является неожиданным для линейных моделей данного класса задач, предполагавших до сих пор отсутствие каких-либо ограничений на амплитуду воздействующей силы или ограничивавших область амплитуд линейностью жесткости стержня T. При использовании подходов на основе детерминированности точных аналитических решений, выражение (19) показывает верхнюю границу допустимой нагрузки на линию, равную жёсткости самой линии.