24

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

Основываясь на исследовании одномерной полубесконечной упругой линии с распределенными параметрами, проведенном в предыдущей части работы, можно смоделировать процессы, протекающие в однородном полубесконечном стержне конечного сечения. При этом следует учесть, что за счет конечности сечения задача становится трехмерной, а потому необходимо осуществить корректные переходы от одного измерения к трем.

Для упрощения рассмотрим полубесконечный однородный стержень круглого сечения, на свободный конец которого действует строго продольная гармоническая сила, равномерно распределенная по торцу стержня. Во всем исследуемом диапазоне нагрузок и частот, как и в предыдущей задаче, будем предполагать соответствие жесткости стержня закону Гука, тем самым, ограничивая исследование линейной моделью.

Исследование будем осуществлять аналогично с задачей о бесконечно тонкой нити. Т.е., находя предельные переходы от линии с сосредоточенными параметрами к модели упругого стержня с конечным сечением. При этом необходимо учесть, что впрямую использовать модель, построенную на простой совокупности бесконечного множества одномерных линий – некорректно, поскольку при одномерном подходе к решению задачи невозможно учесть поперечную деформацию элементарных объемов, которая, как известно, имеет место в реальных стержнях. Более корректна в данном случае модель упруго связанных тонких дисков, диаметр которых равен диаметру стержня. Графический вид данной линии приведен на фиг.2.

Рис. 2. Модель упругой линии с бесконечно тонкими дисками конечного диаметра

Поскольку в данном исследовании рассматривается линейная модель стержня и нагрузка на его торец строго продольна и распределена равномерно по торцу, то введенное в модель изменение не повлияет на решение (1), но при предельном переходе появляется возможность ввести объемную плотность стержня _v  вместо ранее использовавшейся в исследовании линейной плотности .

Учитывая круглое сечение стержня, это удобно сделать следующим образом:

Как видно из полученного решения, амплитуда колебаний в стержне конечного сечения обратно пропорциональна его сечению, плотности, модулю Юнга и частоте воздействующей силы, что с одной стороны естественно. Но важно и то, что колебания отстают по фазе на / 2 от закона изменения внешней силы, что показывают именно точные аналитические решения.