т.5 No 1

57

Задача трех тел в теории удара

75-летию инфиза ХПИ посвящается

Точное решение задачи об упругом взаимодействии трех и более точечных масс в теории удара

С.Б. Каравашкин, О.Н. Каравашкина

Украина, 61140, Харьков, проспект Гагарина, 38, кв.187

Тел.: (057) 7370624

e-mail: selftrans@yandex.ru , selflab@mail.ru

В статье упорядочивается решение задачи двух тел в теории удара и это упорядоченное решение развивается на задачу n тел. Данное развитие стало возможным благодаря учету того факта, что в момент взаимодействия n тел каждая из масс одновременно взаимодействует как с остальными массами рассматриваемой системы, так и с их локальным центром масс. Вследствие этого задача n тел может быть разбита на n задач двух тел, состоящих из исследуемого тела и локального центра масс.

Ключевые слова: теоретическая механика, теория удара, задача трёх упруго взаимодействующих тел, задача n упруго взаимодействующих тел, траектория центра масс системы тел

Задача двух и более тел известна со времен Ньютона и ее решением с разным успехом занимались многие выдающиеся ученые прошедших столетий: в частности, Лаплас, Коши, Даламбер, Вариньон, Якоби, Пуанкаре, Леви-Чивита и многие другие.

С самого начала эта проблема разделилась на два главных направления: теорию рассеяния и теорию удара, составляющих общее начало теории столкновений. В свою очередь каждая из теорий, входящих в общую теорию столкновений, включает в себя теорию упругого и неупругого взаимодействия.

В рамках упругого взаимодействия теория рассеяния исходит из того, что взаимодействие между исследуемыми массами непрерывно и ограничено случаем, "когда силы, действующие между частицами, зависят только от их взаимного расстояния и описываются потенциальной энергией v ()" [1, с. 357]. При этом моделирующая система уравнений, например, для двух тел имеет вид [2, с. 104]

Точное решение для системы двух тел (1) известно [2, с. 104- 109]. Оно основано на переходе в систему отсчета центра масс системы двух тел, вследствие чего система (1) может быть представлена одним уравнением

где

- приведенная масса системы взаимодействующих тел,

- радиус-вектор, описывающий взаимное движение тел.

При переходе к системе взаимодействующих тел (n > 2) общее моделирующее уравнение может быть представлено в виде

Штрих в правой части (3) указывает на то, что из суммирования исключен член с j = i.

В связи с усложнением моделирующей системы уравнений появляются дополнительные проблемы с поиском ее решения [3], [4]. "Усилия многих знаменитых математиков были посвящены этой сложной проблеме, включая Эйлера и Лагранжа (1772), Якоби (1836), Хилла (1878), Пуанкаре (1899), Леви-Чивита (1905) и Биркова (1915). Эйлер в 1772 году впервые ввел синодическую (вращающуюся) систему координат. Якоби (1836) последовательно открыл интеграл движения в этой координатной системе (которую он открыл самостоятельно), который сейчас известен как интеграл Якоби. Хилл (1878) использовал этот интеграл, чтобы показать, что расстояние от Земли до Луны всегда остается ограниченным сверху (полагая правильной его модель системы Солнце- Земля- Луна), а Браун (1896) дал наиболее точную теорию Луны своего времени" [3]. Вместе с тем, независимо от количества взаимодействующих тел система (5) всегда остается определенной, поскольку количество неизвестных радиус-векторов _i   равно количеству уравнений моделирующей системы.