СЕЛФ

60

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

2. Полное решение задачи двух тел в теории удара

Для нахождения дополнительной зависимости, доопределяющей моделирующую систему уравнений (8)- (9), удобно пройти последовательно весь ход решения задачи. Предположим, что в нашем распоряжении имеются две точечные массы m₁ и m₂, траектории движения которых пересекаются в некоторой точке А инерциальной системы отсчета S (см. рис. 2). При этом исходные положения и скорости тел имеют такие значения, при которых оба тела попадают в точку взаимодействия А одновременно, чем предопределено взаимодействие тел в указанной точке.

Рис. 2. Диаграмма взаимодействия двух тел в инерциальной системе отсчёта. Красным пунктиром показана траектория центра масс системы

На рис. 2 хорошо видна двойственность решения, которая следует из исходной моделирующей системы (8)- (9). Как в случае отражения тел друг от друга (сплошные линии после точки А), так и в случае невзаимодействия точечных масс (пунктирные линии после точки А) оба закона (8)- (9) сохраняют свою справедливость.

Поэтому условие, доопределяющее моделирующую систему уравнений, должно прежде всего учесть факт отражения тел друг от друга в точке А. И именно этим обусловлен акцент, сделанный нами в постановке задачи, предопределяющий взаимодействие в точке А.

Для нахождения вышеуказанного условия у нас уже есть расчет траекторий движения тел в системе центра масс. В частности, из выявленной в ходе расчета связи между скоростями тел в системе центра масс и взаимной скорости тел (21) следует:

где '₁, '₂ - импульсы тел в системе отсчета центра масс.

Из (23) мы видим, что в указанной системе отсчета импульсы тел в общем случае одинаковы и противоположно направлены.

Далее несложно показать, что в процессе движения тел импульсы '₁ и  '₂ направлены вдоль одной линии, проходящей через мгновенное положение центра масс системы тел. Для этого проследим траектории движения тел, например, за последние пять равных отрезков времени перед моментом столкновения. Соответствующий график приведен на рис. 3а.

а                                                                                          б

Рис. 3. Траектории движения тел за последние пять равных отрезков времени перед моментом столкновения: а - в неподвижной системе отсчета S, б - в системе отсчета центра масс S_m

Из графика мы видим, что для того, чтобы тела 1 и 2 одновременно пришли в точку А, они должны в каждый отрезок времени проходить пути, пропорциональные длине всего пути из начального положения масс в точку А. Из этого следует, что линия, соединяющая оба тела, в процессе движения тел смещается параллельно самой себе и на этой линии, согласно теореме о центре масс системы тел, находится мгновенное положение центра масс системы рассматриваемых нами тел.

Из этого следует, что в системе отсчета центра масс во все моменты времени оба тела будут двигаться по одной общей прямой, параллельной линии, соединяющей тела в неподвижной системе отсчета S (см. рис. 3б). Следовательно, и скорости, и импульсы тел в системе отсчета центра масс будут направлены вдоль этой прямой. Более того, поскольку и положение обоих тел, и положение центра масс системы этих тел к моменту соударения стягиваются в точку А системы отсчета S, то в системе центра масс S_m положения обоих тел к моменту соударения стягиваются в точку A', совпадающую с началом координат этой системы.