т.5 No 1

61

Задача трех тел в теории удара

Таким образом, из анализа движения тел в системе S_m мы выяснили, что скорости и импульсы тел направлены в ней вдоль общей прямой, проходящей через точку взаимодействия, т.е. через начало отсчета этой системы. А поскольку система S_m является инерциальной, мы имеем право применить к рассмотрению взаимодействия тел в ней законы сохранения (8)- (9). В свою очередь из этого следует, что, переходя из неподвижной системы S в систему S_m, мы сводим двумерную задачу взаимодействия масс к одномерной, решение которой, как было сказано во введении, известно.

Рис. 4. Диаграмма центрального взаимодействия тел, движущихся вдоль одной прямой

"При центральном ударе векторы '₁ , '₂ , '₁ и  '₂ направлены вдоль одной прямой (см. рис. 4). Поэтому в уравнении (9) можно перейти от векторов к их численным значениям

Совместное решение уравнений (8) и (24) даст

[6, с. 61]. В приведенной цитате мы сразу произвели штриховку скоростей тел, чтобы привязаться к решаемой нами задаче в системе отсчета центра масс.

Анализируя представленное решение, следует отметить, что оно неполно. Чтобы показать это, проведем совместное решение (8) и (24) вслед за автором. Для этого возведем (24) в квадрат, а (8) умножим почленно на (m₁ + m₂). Получим

Вычитая второе равенство (26) из первого и проводя упрощения, получим

Полученное равенство удовлетворяется в двух случаях:

В первом случае, подставляя последовательно '₁ и '₂ в (24), получим

Этот случай соответствует условиям задачи, когда взаимодействие тел не осуществилось. При этом импульсы тел сохранили свое исходное значение и мы можем записать

где '₁ и '₂ - импульсы первого и второго тела после прохождения точки А. Во втором случае получаем ранее приведенное решение (25).

Как мы видим, здесь мы снова столкнулись с двойственностью решения задачи, о которой говорили ранее. Решение для одномерного случая действительно предполагает сохранение импульса системы тел как в случае невзаимодействия тел, так и в случае рассеяния. Первое из решений имеет место в случае, когда тела неодновременно приходят в точку взаимодействия, а также когда взаимодействие "условных" тел имеет волновую природу, как например в случае пересечения траекторий волновых импульсов, распространяющихся в сплошных средах. Второй случай проявляется при упругом взаимодействии тел. И эти особенности следует учитывать в расчетах конкретных динамических систем.

Кроме этого, "следует помнить, что в формулах (25) (а также и (29) - авт.) скорости v₁ и v₂ могут иметь (в общем случае - авт.) как одинаковые, так и противоположные знаки в зависимости от направлений векторов   ₁ и ₂ " [4, с. 61]. Из этого следует, что в общем случае одномерного взаимодействия тел решения (25) и (29) должны записываться в векторном виде, а именно