СЕЛФ

62

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

Чтобы получить окончательное решение для исследуемого нами случая взаимодействия тел в системе центра масс на основе (31) и (32), нам необходимо дополнительно учесть равенство импульсов тел в указанной системе отсчета, которое следует из (23). При этом с учетом (21) мы получаем

Сравнивая (34) с (33), мы видим, что в системе центра масс после соударения векторы скоростей просто изменили свое направление на противоположное, что при доказанном нами ранее равенстве импульсов взаимодействующих тел в данной системе отсчета полностью соответствует закону равенства действия и противодействия (третьему закону Ньютона).

Таким образом, в системе центра масс реализуется два возможных варианта: или скорости каждого из тел сохраняются, или изменяется на противоположное только их направление. И это существенно облегчает получение окончательного решения задачи двух тел в общем виде. Для этого нам достаточно подставить (33) и (34) в (13):

Выражения (35) и (36) являются искомым общим решением задачи для двумерного случая взаимного движения тел. Характерно, что данное решение точно совпадает с ранее представленным нами решением одномерной задачи (31), (32). Единственный аспект, который необходимо учитывать при решении задачи, связан, как уже было сказано в начале данного пункта, с необходимостью учета одновременности прихода обоих тел в точку взаимодействия А, поскольку при этом в постановке задачи появляются дополнительные ограничения в выборе значений начальных положений и скоростей тел.

Рис. 5. Построение для доопределения начальных условий в задаче двух тел на основе условия одновременного прихода обоих тел в точку взаимодействия А

Например, задавая точку А, в которой произойдет столкновение, мы тем самым доопределяем сразу два параметра. Действительно, чтобы тела попали из исходных положений В и С в точку А (см. рис. 5), необходимо, чтобы они затратили одинаковое время для прохождения своих путей ВА и СА соответственно. Исходя из этого, на основе построения на рис. 5 следует, что должны выполняться следующие равенства:

и

Из (37) и (38) мы можем доопределить два начальных условия - например, полностью доопределить начальное положение одного из тел.

Далее, задаваясь дополнительно временем t_A , через которое произойдет столкновение тел, мы можем на основе построения на рис. 5  доопределить еще два параметра. Действительно, из построения следует, что

Так как

то

Как видим, выражения (37), (38) и (41) полностью определяют, например, исходное положение тел или все параметры их скоростей, или все начальные параметры одного из тел. С учетом (37), (38) и (41) решение задачи двух тел (35), (36) становится полностью детерминированным, поскольку указанные выражения определяют условия обязательного одновременного прихода обоих тел в точку взаимодействия А. Из приведенного анализа также видно, что в случае трехмерного взаимодействия двух тел полученные выше решения сохраняют свою силу, поскольку в любом случае взаимодействие двух тел будет осуществляться в плоскости, а разворот плоскости по отношению к базовым плоскостям трехмерного базиса, как известно, не изменяет решения в инерциальной системе отсчета. Последний нюанс будет важен с точки зрения дальнейшего рассмотрения трех и более тел.

Рис. 6. Траектории движения точечных масс. Параметры построения:  m₁ = 5 кг, m₂ = 3 кг,  ₁ = - 20^o , ₂ = 50^o , v₁ = 1 м/c , v₂ = 4 м/c , x_A = 10 м,  y_A = 5 м ,  t_A = 10 сек

Для иллюстрации решения задачи, на рис. 6 приведена анимация, показывающая траектории движения точечных масс. На диаграмме хорошо видно, что в общем случае закон Снеллиуса о равенстве углов падения углам отражения нарушается. Это кроме всего прочего говорит о том, что когда при исследовании взаимодействия элементарных частиц появляется несоответствие траекторий рассеяния существующим представлениям, основывающимся на неполном решении задачи двух тел, то прежде, чем предполагать наличие третьих частиц, искажающих углы отражения, следует очень внимательно проанализировать параметры двух взаимодействующих частиц.