т.5 No 1

59

Задача трех тел в теории удара

В основу перехода в систему отсчёта центра масс положен принцип Галилея о сохранении состояния движения консервативной системы материальных тел. "Ввиду отсутствия внешних сил центр масс системы движется относительно S  (неподвижной инерциальной системы отсчета - авт.) равномерно и прямолинейно. Таким образом скорость центра масс и его радиус-вектор равны

где

а ₁ , ₂ , ₁ , ₂ - начальные положения и скорости соответствующих точек.

Рис. 1. К расчёту движения точечных масс относительно поступательно движущейся системы центра масс S_m

Рассмотрим далее движение точек относительно поступательно движущейся системы центра масс S_m (рис. 1). Так называют систему отсчета, начало которой находится в центре масс механической системы, а оси не изменяют своей ориентации относительно системы S (т.е. углы между осями систем  S_m и S неизменны). В данном случае система S_m инерциальна, поскольку центр масс движется равномерно и прямолинейно относительно системы S.

Следовательно, положения, скорости и ускорения точек относительно S_m и S (с учетом (10) - авт.) связаны между собой соотношениями

где "нештрихованные" векторы относятся к системе S, а "штрихованные" - к системе S_m … Однако положения точек 1 и 2 в системе S_m не являются независимыми. Действительно, из определения центра масс

(где m_i и r_i - масса и радиус-вектор i-й точки системы, m - масса всей системы, N - число материальных точек системы) и определения системы S_m имеем

Поэтому радиус-вектор

характеризующий относительное положение точек, выражается через  '₁ и   '₂ :

а радиусы-векторы  '₁ и   '₂ связаны с вектором соотношениями

Дифференцируя (13)- (16) по времени, получаем

где

[2, с. 104- 105].

Из приведенного вывода мы видим, что переход в систему отсчета центра масс позволил определить соотношения скоростей тел по отношению к взаимной скорости материальных точек, что дает дополнительное соотношение в моделирующей системе уравнений (8)- (9) теории удара.

Вместе с этим появляются новые проблемы. Если мы еще раз посмотрим на рис. 1, то увидим, что соотношения (19) записаны для тел, двигающихся в пространстве относительно друг друга, независимо от того, взаимодействуют ли они между собой. Для справедливости выкладок (11)- (13) достаточно понятия консервативности системы тел, а оно включает в себя и взаимодействие тел между собой, и независимое движение.

В теории рассеяния указанная проблема преодолевается тем, что результаты расчетов в системе отсчета центра масс подставляются в дифференциальные уравнения движения (1). Входящие в эти уравнения силы взаимодействия фактически дополняют расчеты (11)- (20), вводя необходимые условия взаимодействия между телами.

В теории удара подобное доопределение модели отсутствует, поскольку и уравнение сохранения энергии системы (8), и уравнение сохранения импульса системы (9) в равной степени справедливы и при условии импульсного взаимодействия тел, и при условии невзаимодействия тел. Поэтому выражения (19), связывающие скорости тел в системе центра масс с относительной скоростью этих тел, неспособны доопределить уравнение сохранения импульса системы тел (9). В частности, условия (19) ничего не говорят о том, какое направление будут иметь скорости тел u₁ и u₂ после соударения.

Другой проблемой теории удара является то, что даже с учетом доопределения системы уравнений (8) и (9) она становится неопределенной при увеличении количества одновременно взаимодействующих тел, в связи с чем и возникла многовековая проблема решения задачи трех тел, которая дополнилась параллельной ей задачей теории рассеяния, которая кроме непосредственной важности её подходов для решения задач небесной механики, физики элементарных частиц и т.д. позволяет оценить решение задачи двух тел в теории удара, рассматривая начальные и конечные положения взаимодействующих тел на значительном расстоянии от точки взаимодействия [3, гл. 2, п. 13 с. 109]. Но данный подход не способен помочь решению задачи трёх и более тел в теории удара, поскольку данная задача не решена в рамках самой теории рассеяния. Наоборот, решение задачи в теории удара способно помочь решению задач в теории рассеяния, показывая траектории движения рассеянных тел в асимптотическом приближении на больших расстояниях от точки взаимодействия.

В связи с важностью решения задачи трёх тел как в теории удара, так и для развития методик в теории рассеяния, в данном исследовании мы уточним решение задачи двух тел в рамках теории удара и разовьем это решение на задачу трех, четырех и т.д. тел.