СЕЛФ

64

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

Одновременно с введением центра масс всей системы мы можем сформировать локальные центры масс. Для задачи трёх тел их будет три. Каждый из них будет определяться следующим образом:

первый локальный центр масс

второй локальный центр масс:

третий локальный центр масс:

Безусловно, в системе трех тел ни для одного из указанных локальных центров масс мы не сможем записать выражение сохранения энергии после соударения, аналогичного (46), поскольку в общем случае

Вместе с тем существует особенность моделируемой нами задачи, которая позволяет использовать локальные центры масс для доопределения базовой системы уравнений (42)- (43).

Для подтверждения сказанного обратим внимание на тот факт, что взаимодействие всех трех тел в системе отсчета S происходит одновременно, массы точечные, но главное, в момент взаимодействия масс все три локальных центра масс будут находиться в той же самой точке взаимодействия А. Это означает, что каждая из масс будет взаимодействовать с одной стороны с двумя остальными массами, но с другой стороны - с центром масс этих двух тел, который полностью описывает и меру инерции, и импульс системы составляющих его тел. Важно, что указанная особенность не может быть отделена от самой постановки задачи, поскольку, если локальный центр масс не попадет в момент взаимодействия в точку А, то это будет означать, что какое-то из тел, определяющих положение данного центра масс, не находится в точке взаимодействия, а значит, не будет взаимодействовать с третьим телом. Вследствие этого задача трех тел фактически разделится на две последовательные задачи двух тел, которые могут быть решены по методике, изложенной в предыдущем пункте.

Из вышеприведенного описания следует еще один важный вывод. Поскольку центр масс полностью идентифицирует две входящие в него массы, взаимодействие этого центра как единого тела с исследуемым третьим телом будет осуществляться строго в соответствии с постановкой задачи двух тел. А следовательно, плоскость в которой будет осуществляться взаимодействие любого из тел системы с центром масс двух других тел, будет проходить через начальные положения этого тела, локального центра масс и точку взаимодействия А, как показано на рис. 8.

Рис. 8. Построение, представляющее образование плоскости взаимодействия между массой m_i = 1, 2, 3 и локальным центром масс остальных двух взаимодействующих тел

Принимая во внимание указанный нюанс, задача трех тел разделяется на три идентичные задачи двух тел, в каждой из которых одно из тел исследуемой системы будет взаимодействовать с центром масс двух других тел. При этом, как несложно убедиться, мы получаем все недостающие уравнения, доопределяющие базовую систему уравнений (42)- (43).

Также несложно убедиться в том, что учитывая вышеуказанную особенность взаимодействия точечных масс, мы можем доопределить базовые системы уравнений для любого числа масс, решая последовательно идентичные задачи двух тел для выбранных масс системы и локальной меры инерции центра остальных масс, входящих в исследуемую консервативную систему.