т.5 No 1

63

Задача трех тел в теории удара

3. Решение задачи трех и более тел в теории удара

Для того, чтобы определить путь решения задачи трех и более тел в теории удара, достаточно рассмотреть решение задачи трех тел, поскольку, как будет видно из дальнейшего, задачи с большим числом одновременно взаимодействующих тел решаются полностью идентично.

Для решения поставленной задачи трех тел запишем ее моделирующие уравнения. Их, как и в задаче двух тел, всего два:

уравнение сохранения энергии системы

и уравнение сохранения импульса системы

С учетом того, что в общем случае задача трех тел должна решаться в трех измерениях, общее число моделирующих уравнений будет равно четырем. Количество же неизвестных, которые необходимо определить, равно 9 - по три на определение каждого вектора скорости тел после соударения.

Как видим, уже задача трех тел в общем случае является пятикратно вырожденной и степень неопределенности возрастает с ростом числа взаимодействующих тел.

С другой стороны, кроме вышеприведенных уравнений (42), (43) отсутствуют какие бы то ни было дополнительные законы сохранения для точечных масс, которые способствовали бы доопределению базовой системы уравнений. В этом, собственно, и заключается проблема решения задачи, как и причина неуспешности попыток ее решения всеми предыдущими поколениями ученых.

В свою очередь, сформулированная выше проблема говорит нам о том, что решение задачи следует искать в рамках существующей системы уравнений (42), (43).

Для того, чтобы выявить возможности доопределения указанной системы уравнений в рамках этой же системы уравнений, проанализируем более детально, как и в задаче двух тел, поведение центра масс системы трех взаимодействующих тел. Для этого предположим, что нам даны три тела с массами m₁ , m₂ , m₃  соответственно, которые в начальный момент времени находятся в точках Q₁(x₁, y₁, z₁), Q₂(x₂, y₂, z₂) и Q₃(x₃, y₃, z₃)  неподвижной инерциальной системы S и двигаются в направлении точки А со скоростями ₁ , ₂ и ₃. При этом, учитывая проведенное выше исследование задачи двух тел, сразу договоримся, что все тела достигнут точки взаимодействия А через некоторое время t_A, как показано на рис. 7.

Рис. 7. Построение, визуализующее постановку задачи трёх тел в теории удара. Красным выделена траектория центра масс системы тел

Безусловно, по аналогии с задачей двух тел мы можем определить положение и скорость центра масс системы трех тел:

где m = m₁ + m₂₁ + m₃. На рис. 7 траектория центра масс обозначена красной  линией.

Так же, как и в случае двух тел, нам несложно доказать, что движение центра масс исследуемой системы будет инерциальным. Действительно, кинетическая энергия системы тел может быть записана в виде

В свою очередь, исходя из (44) с учетом (43), имеем

Следовательно,

что и доказывает утверждение.