О возбуждённом состоянии орбитального электрона

СЕЛФ	4
С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

Продолжая анализ построения Э. Ферми уравнения Шредингера, отметим, что проинтегрировав интеграл действия при условии его постоянства, Ферми пришёл к следующему выражению для групповой скорости:

“Такая монохроматическая волна удовлетворяет уравнению

частное решение которого имеет вид

здесь по смыслу монохроматичности необходимо брать постоянную частоту ” [8, с. 21].

Остановимся и проанализируем некоторые принципиальные аспекты полученного решения (18). Прежде всего, как мы видим, моделирующее уравнение (17), записанное, но не выведенное Э. Ферми является внешней формой стандартного волнового уравнения классической волновой физики. Единственное отличие заключается в том, что в знаменателе коэффициента при производной по времени в (17) стоит групповая скорость. Но ведь самим же Ферми согласно (16) определена зависимость этой скорости от частот пакета волн. Решением же уравнения (17) является монохроматическая волна. Но пакет волн не изменяется по гармоническому закону, по которому изменяется (18). Таким образом, мы видим искусственность введения волнового уравнения и некорректность переходов, сохраняющих только внешние атрибуты, которые могли бы согласовать это построение с решениями Н. Бора, полученными на основе классической физики. И чем дальше развивается вывод, тем больше проявляется указанное несоответствие.

Показав квазиволновое уравнение и псевдоволновое его решение, Ферми подставляет (18) в (17) и при этом приходит к выражению для определения неизвестных коэффициентов

“или с учётом (16):

Заменяя u с помощью соответствия

мы приходим к зависящему от времени уравнению Шредингера,

[8, с. 21].

Причём оказывается, что “в случае решения (18) мы имеем уравнение для стационарных состояний

Это уравнение имеет смысл только для состояний с фиксированной энергией

[8, с. 21].

Таким образом получается, что исходя из (18), путём формальных преобразований Ферми получает (22), а из этого выводит, что (18) удовлетворяет иному уравнению (23). Но не только это просматривается в представленном построении уравнения Шредингера. Обратим внимание на то, что согласно обусловленности, дополнительно введенной Ферми, уравнение для стационарных состояний (23) справедливо только для вполне конкретного соотношения между частотой и энергией. Вместе с тем, это никоим образом не просматривается ни в ходе самих преобразований, ни из самого выражения (23). В частности, если бы мы рассматривали классическую модель, обладающую резонансными свойствами, то мы непосредственно из математического описания самой модели получали бы условия резонансов. Но исходное волновое уравнение (17) представляет собой уравнение самого общего вида, допускающее непрерывный, но не дискретный спектр частот. Уравнение Шредингера (22), выведенное непосредственно из (17), только отражает этот факт. К тому же по идее исследуется именно пакет волн, а не монохроматическая волна. О каких дискретных частотах может идти речь, когда по утверждению самого же Э. Ферми волна де Бройля описывает пакет? Из сказанного следует, что и само уравнение Шредингера (22), и уравнение для стационарных состояний (23) не описывают состояний с дискретным уровнем энергии, а введенное дополнение является исключительно искусственным. И действительно это так. Переходя в третьей лекции к рассмотрению конкретных задач, Э. Ферми для замкнутой линии дополняет моделирующее уравнение условием: “Условие периодичности требует, чтобы функция u имела вид

где l принимает любые целочисленные значения (положительные, отрицательные и нуль)” [8, с. 27]. Но ведь это условие "позаимствовано" именно из классической волновой физики. В квантовой механике, с введением принципа неопределённости Гейзенберга, ни о какой строгой периодичности говорить нельзя. К тому же, если уровни уже квантованы, то зачем их квантовать дополнительно?

Таким образом, исходя из принципа квантования, мы нарушаем решения, которые построены именно с учётом этого принципа, ведь с нарушением периодичности, равно как и с исчезновением детерминированности и статистическом характере волновой функции, мы теряем условие дискретизации уровней энергии, которые были заложены априорно в постановку задачи в виде постулата квантования энергии Планка.

“И мне кажется, что не будет ошибкой сказать, что как де Бройль, так и Шредингер искали в первую очередь математический аппарат, т.е. искали такое построение математической стороны теории, которому было бы присуще выделение дискретных значений, мало заботясь на этой стадии о первой части, т.е. мало заботясь о том, какое физическое значение нужно будет приписать тем величинам, которые будут входить в этот математический аппарат, за исключением самих дискретных величин, которые, очевидно, надо было толковать как E (энергию) или (частоту) - ведь для этого всё делалось.

И в поисках этого аппарата, несомненно, решающую роль сыграло то обстоятельство, что в классической физике такой аппарат существовал (! - авт.). Это так называемые задачи о собственных значениях, т.е. по существу волновые уравнения с граничными условиями. Ими решались задачи о собственных (дискретных) колебаниях струн и т.д. Там конечно, физический смысл всех математических символов ясен. Там, этот аппарат появляется при приложении общих принципов механики или электродинамики к частным вопросам.

Для краевых задач типично выделение целых чисел, обеспечивающих существование решения. То, что сделал Шредингер, что он угадал (! - авт.), замечательно вот в каком отношении. В струне дискретные числа выделены не столько уравнением, сколько граничными условиями. (В действительности это было большой ошибкой и математиков, и механиков тех времен, что они сначала обобщили уравнения частных задач, где дискретность определялась именно уравнениями, - при этом не решив их должным образом, - а после обобщения подменили саму феноменологию математического моделирования, еще более отдалившись от точных решений. И это показано нами в наших статьях, посвященных моделированию сложных колебательных систем. - авт.) А где взять эти граничные условия для атома, за что там зацепиться? И вот Шредингер обратил внимание (математики знали это давно), что существуют такие дифференциальные уравнения, которым для появления дискретности достаточно естественных условий, таких, например, как интегрируемость квадрата модуля решения и конечность его в особых точках уравнения. Именно этим путём Шредингер пришёл к своему уравнению, и он сам говорил, что не ожидал такого поразительного эффекта от своей работы” [10, с. 330].