т.6 No 1

7

О возбуждённом состоянии орбитального электрона

2. Изменение закона Кеплера при орбитальном движении электрона во внешнем поле

Чтобы войти в суть вопроса, рассмотрим, как изменяется кеплеровский закон площадей при взаимодействии атома водорода с электрическим полем общего вида и изменяется ли этот закон при указанном взаимодействии. Для этого пока не будем учитывать орбитальное движение ядра атома и ограничимся упрощённой моделью движения электрона вокруг неподвижного ядра, кинематическая схема которой представлена на рис. 6.

Рис. 6. Упрощённая модель атома водорода во внешнем переменном во времени электрическом поле

Моделирующая система дифференциальных уравнений, описывающих движение электрона в данной модели, имеет следующий вид:

где е - заряд электрона, ₀ - электрическая постоянная, m_e - масса электрона, r - радиус-вектор орбитального электрона в системе атома, _e , _E  - частота и начальная фаза внешнего переменного электрического поля.

С одной стороны, система (35) соответствует стандартному моделированию процессов в теории Н. Бора. Действительно, стандартная моделирующая система уравнений имеет вид

[7, c. 20- 21]. Несложно видеть, что (35) и (36) отличаются только выбранной системой отсчёта, а именно, (35) представлена в декартовой, а (36) в полярной системе.

С другой стороны, в (35) кроме центрального поля учтена и внешняя сила, и данное отличие принципиально, поскольку непосредственно в моделирующем уравнении учитывает процесс возбуждения, в то время как существующее моделирование (36) оперировало только стационарной системой и возбуждение оценивало по уровню изменения энергии орбитального электрона между стационарными состояниями, - что, как будет видно из дальнейшего изложения, недостаточно.

В отсутствие же внешнего поля обе системы идентичны и описывают в общем случае эллиптическую траекторию движения электрона.

При наличии же внешнего поля система уравнений (35) в общем случае уже не может быть отождествлена в полной мере с линейным осциллятором, что несложно показать математически.

Для этого умножим первое уравнение системы (35) на y, второе - на x и вычтем первое уравнение из второго; при этом получим

С учетом того, что

левая часть (37) примет вид

При этом само выражение (37) можно записать следующим образом:

Чтобы продолжить далее преобразование выражения (40), нам нужно перейти в полярную систему координат. Преобразование из декартовой системы в полярную имеет стандартный вид

Подставляя (41) в (40), получим

Несложно увидеть, что в левой части выражения (42) стоит производная по времени от секториальной скорости электрона. Действительно, как известно, секториальная скорость тела, движущегося по орбите, определяется векторным произведением

где - скорость движения тела по орбите.

В свою очередь, в плоском случае общая скорость тела в полярных координатах записывается в виде

Подставляя (44) в (43), получим

что и доказывает утверждение.

Таким образом, с учётом (43) и (44), выражение (42) приобретает искомый нами вид

Заметим, что в отсутствие внешнего поля, т.е. при условии

из выражения (46) следует

что является математической записью второго закона Кеплера, гласящего, что при орбитальном движении секториальная скорость тела постоянна. При наличии же внешнего поля из (46) следует, что второй закон Кеплера трансформируется, вследствие чего секториальная скорость приобретает периодичность. При движении тела в направлении действия силы (радиальный угол изменяется в первой половине периода), секториальная скорость возрастает, а при движении тела в направлении, противоположном действию силы - убывает. При этом секториальная скорость максимальна при радиальном угле, равном , и минимальна при = 0 . В свою очередь, секториальное ускорение максимально при = /2 и минимально (означающее максимальное торможение) при = 3/2 . Вследствие этого в общем случае нарушается и эллиптичность орбит.

Если далее предположить, что в приближении малой амплитуды внешнего поля мгновенная фаза , определяющая положение электрона на орбите, приближённо определяется периодической функцией времени

то в правой части (46) мы имеем суперпозицию двух колебаний

Из (49) непосредственно следует, что максимальные трансформации траектории электрона будут соответствовать пропорциональным частотам внешнего поля и орбитального вращения электрона. Именно поэтому, как мы уже цитировали выше, Н. Бор при описании процесса возмущения записал следующее: “Теперь допустим, что электрон испускает монохроматическое излучение с частотой , равной половине частоты обращения электрона по своей окончательной орбите” [12, с. 87]. И именно поэтому для Н. Бора была несущественна начальная частота вращения электрона по орбите: “Если допустить, что излучение монохроматично, то само собой напрашивается второе допущение относительно частоты излучения, а именно, что число оборотов электрона в начале излучения равно нулю” [12, с. 87]. С точки зрения полученной нами закономерности (49) допущение, введенное Н. Бором, говорит только о том, что в данном случае важна не сама частота вращения электрона по своей стационарной орбите, а соотношение данной частоты с частотой внешнего возмущения. Именно в этом случае в системе будут наблюдаться резонансные явления, и атом как вращающийся диполь будет наиболее эффективно излучать во внешнее пространство. При некратности частот, как и в любой динамической системе, колебания будут нестационарными и излучение будет существенно уменьшаться.