86

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

Влияние излома на решение задачи о колебаниях в упругой линии с сосредоточенными параметрами

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

Специализированная лаборатория фундаментальных исследований СЕЛФ

e-mail: selftrans@yandex.ru , selflab@mail.ru

Март 02, 2002

Реферат

В работе доказывается, что излом в упругой линии не влияет на характер решения в том и только в том случае, если равны продольная и поперечная жёсткости линии. На базе доказанной теоремы рассмотрены характерные для приложений модели полубесконечной упругой линии с изломом, однородной замкнутой упругой линии и упругой линии с неравными коэффициентами продольной и поперечной жесткости. Показано, что в линиях, подчиняющихся условиям теоремы, при сохранении общего решения особенности колебательных процессов обусловлены закономерностями преобразования координатных систем. В случае неравных коэффициентов в области излома имеют место сложные динамические надвиги, срывы колебаний, амплитуда колебаний возрастает. В области до излома появляются резонансные пики, частоты которых не совпадают для продольной и поперечной компонент волнового процесса. Последнее приводит к тому, что в одной и той же упругой линии при неизменном угле наклона внешней силы вдоль линии в зависимости от частоты могут распространяться преимущественно продольные, поперечные или наклонные волны. При этом наклон волны не совпадает с наклоном внешней силы, как в линиях с равными коэффициентами жёсткости. В качестве примера рассмотрены некоторые аспекты приложений данных решений к геофизическим моделям.

Ключевые слова: Математическая физика; Волновая физика; Теория системы многих тел; Системы обычных дифференциальных уравнений; Динамика; Неоднородные динамические системы: Упругие системы с изломом; Нелинейные колебательные системы; Распространение волн в нелинейных средах; Геофизика: Тектоника; Сейсмология

1. Введение

При всей важности для практики задач моделирования упругих линий с сосредоточенными параметрами, обладающих одним или несколькими изломами, до сих пор отсутствуют более или менее общие подходы к их решению. В литературе (см. например [1- 4] и т.д.) преобладают в основном приближённые исследования прямолинейных упругих одномерных линий, базирующиеся прямо или косвенно на матричных методах нахождения характеристических частот. Это обусловлено тем, что хотя “точные аналитические методы предпочтительней в анализе, однако получение аналитических формул решения даже сравнительно простых дифференциальных уравнений иногда сопряжено с большими трудностями” [5, с. 10]. К тому же, “система с сосредоточенными параметрами, в которой сопротивления, податливости и массы можно выбирать произвольно, представляет собой весьма сложную задачу. Она значительно сложнее системы с распределёнными параметрами массы, податливости, сопротивления. Действительно, система с сосредоточенными параметрами соответствует системе с распределёнными параметрами, которая может быть нагружена в разных точках массой, и состоять из разных частей, связанных друг с другом. Поэтому система с сосредоточенными параметрами с трудом поддаётся теоретическому анализу” [1 с. 156]. Известны, в частности, аналитические исследования упругих систем с тремя, четырьмя шарнирно связанными стержнями [6], когда моделирующая система дифференциальных уравнений после разделения переменных позволяет непосредственно находить собственные частоты. В более общих случаях пользуются квазистатическими приближениями, вводя коэффициент влияния [1], [2], или используя принцип Сен-Венана [7], [8]. Описанные подходы, естественно, обладают всеми недостатками квазистатического приближения. Введение коэффициента влияния без знания всех фазовых и амплитудных особенностей динамического процесса на неоднородностях линии не позволяет корректно учитывать фазовые зависимости при суммировании отклонений точки, обусловленные воздействием всех остальных элементов упругой системы, а принцип Сен-Венана не позволяет исследовать влияние дальних элементов системы.

Проблема, связанная с влиянием изломов на характер колебательных процессов, играет важную роль в понимании многих физических процессов как в строительной динамике, машиностроении, авиастроении, так и в геофизике.