95

Влияние излома на картину колебательного процесса в линии

5. Исследование одномерной однородной упругой линии при неравенстве коэффициентов продольной и поперечной жёсткости

Как было сказано во введении, геологические породы, с которыми мы имеем дело в геологических и инженерных задачах, обладают, как правило, различной деформируемостью в продольном и поперечном направлении породы. Поэтому в качестве следующего примера рассмотрим изменение картины колебательного процесса в случае неравенства коэффициентов продольной и поперечной жёсткости упругой линии. Как было указано в п. 2 данной работы, в этом случае мы не можем игнорировать излом упругой линии. Жёсткость связей теперь будет характеризоваться двумя параметрами: коэффициентом продольной s_lt и поперечной s_tr жёсткости. Моделирующие системы уравнений для полубесконечной однородной упругой линии примут вид:

для продольной компоненты

Отличие (28)- (29) от (1)- (4) сконцентрировано в k-м и (k + 1)-м уравнениях моделирующих систем уравнений. Смещения переходных элементов линии x_k, y_k, _k+1, _k+1 входят в (28)- (29) с коэффициентом

который не позволяет осуществить преобразование координат (, ) в (x, y), как в случае равенства коэффициентов жёсткости. В связи с этим решение существенно усложняется. В первую очередь, в решении появляется два параметра

характеризующих запаздывание распространения продольной и поперечной компонент волны вдоль линии и эти параметры, в общем случае, будут различными. Во-вторых и в связи с этим, критическая частота для продольной и поперечной компоненты также будет различной и равной

соответственно. Это приведёт к разделению частотного диапазона не на два, как в случае равных жёсткостей, а на три области. В первой области колебания и продольной, и поперечной компоненты будут соответствовать периодическому режиму колебаний. При характерном соотношении жёсткостей

данная область имеет границы 0 < < _lt . Во второй области _lt < < _tr   при выполнении (33), колебания продольной компоненты будут соответствовать критическому режиму противофазных затухающих вдоль линии колебаний, а для поперечной компоненты будет характерен периодический режим. Это будет приводить к тому, что вне окрестности воздействия внешней силы и угла излома в линии будут наблюдаться преимущественно поперечные колебания. Наконец, при  > _tr  колебания будут наблюдаться только в окрестности точки воздействия внешней силы, поскольку и поперечной, и продольной компоненте в этом диапазоне частот будет соответствовать апериодический режим колебаний.