88

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

2. Теорема о влиянии излома на характер процессов в упругой линии

Докажем теорему:

ТЕОРЕМА 1. Излом упругой линии не влияет на характер колебательных процессов в том и только в том случае, когда равны продольный и поперечный коэффициенты жёсткости связей.

Чтобы доказать данное утверждение, рассмотрим некоторую упругую линию (см. рис. 1) с изломом на k - м элементе, и пусть в общем случае массы всех элементов линии не равны между собой. Предположим также, что в рассматриваемой упругой линии имеет место некоторый волновой процесс, описываемый x- и y- компонентами. Для удобства описания введём две системы отсчёта (x,y) и (, ), описывающих колебательные процессы в линии до и после излома соответственно. Направленность их показана на рис. 1.

Рис. 1. Расчетная схема упругой линии с изломом на k-м элементе под углом

Тогда моделирующая система дифференциальных уравнений будет иметь следующий вид:

для x- компоненты

где m_k  - масса соответствующего элемента упругой линии, s - коэффициент жёсткости, _xk - смещение k-го элемента упругой линии вдоль оси x;

для - компоненты

для y - компоненты

для - компоненты