СЕЛФ

60

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

Точные аналитические решения для идеальной бесконечной линии, имеющей один переход неоднородности

С.Б. Каравашкин, О.Н. Каравашкина

Специализированная лаборатория фундаментальных исследований СЕЛФ

e-mail: selftrans@yandex.ru , selflab@mail.ru

В работе представлены результаты исследования бесконечной одномерной упругой линии с сосредоточенными параметрами, с одним переходом неоднородности. Мы получили эти результаты, используя оригинальный нематричный метод нахождения точных аналитических решений для бесконечной системы дифференциальных уравнений. Мы представим несколько особенностей, важных для практического использования, обусловленных переходом участка упругой линии в противофазный режим затухания. Мы также рассмотрим условия трансформации решений при переходе к моделям, соответствующим базовой, а также к соответствующим упругим линиям с распределенными параметрами. Результаты этого исследования могут быть распространены на вращательные колебания упругой линии с сосредоточенными или распределенными параметрами. С помощью оригинальной динамической электромеханической аналогии (ДЭМА) они также могут быть применены к расчету электрических фильтров

Ключевые слова: неоднородные упругие линии; конечная деформация; теория колебаний; динамические системы

1. Введение

В работах [1]- [4] на базе идеальных упругих конечных и бесконечных линий показано, что колебательный процесс не ограничивается докритической областью частот (ниже граничной частоты ₀). В закритической области наблюдается апериодический режим затухающих противофазных колебаний, при котором механическая линия ведёт себя как естественный демпфер.

В неоднородной линии влияние апериодического процесса на картину колебаний существенно усложняется, когда частота внешнего возбуждения превысит локальную граничную частоту _0i  для одних участков линии, в то время как для других участков будет сохраняться докритический режим колебаний. Это приводит к возникновению сложных амплитудных и фазовых переходов, характер которых будет зависеть как от локальных параметров участка, так и от особенностей конкретной упругой линии в целом. В этом случае для полного исследования неоднородной линии недостаточно знать собственные частоты и собственные функции, но важно иметь цельную картину колебательного процесса при детерминированных в аналитическом виде амплитудных и фазовых характеристиках колебаний в докритическом и в закритическом частотных диапазонах.

Вместе с тем, указанные особенности не поддаются полному описанию известными методами. “В существующих методиках решение краевых задач сводится, по существу, к определению собственных значений, связанных с собственными частотами и другими параметрами исследуемой системы, и нахождению собственных функций (форм колебаний). Если собственные значения и собственные функции найдены, тогда можно считать краевую задачу решённой. В настоящее время разработано большое число приближённых методов нахождения собственных значений, но все они довольно трудоёмки, позволяют находить только первые собственные значения и, самое главное, не объединяют изучение систем с дискретным и непрерывным распределением масс” [5, с. 3- 4]. Только в отдельных частных случаях имеются неполные, ограниченные по применимости решения или упоминание о возможности существования колебаний в закритической области (см., например, [6, с. 272- 275], [7, с. 294], [8, с. 109]). Однако они также не позволяют проводить полный анализ процессов, особенно в неоднородных линиях.

В данной работе мы отчасти восполним имеющийся пробел и приведём некоторые результаты проведенного нами исследования для частного случая неоднородной идеальной упругой линии с одним переходом неоднородности. При этом будем предполагать, что основные закономерности явлений могут быть распространены и на более сложные неоднородные упругие линии с использованием методики, на основе которой получены решения, анализируемые в данной работе.