т.2 No 1

63

К решению для бесконечной неоднородной линии

3.2

При превышении ₂   единичного значения в тяжёлой части линии устанавливается апериодический режим колебаний. При этом все члены в правых частях системы (2)- (4) преобразуются согласно (8). В результате указанная система решений примет вид:

для  i k

для k i n

для i n + 1

где

В первом участке линии, соответствующем i k , сохранился периодический процесс распространения прогрессивной волны с фазой запаздывания [2(n - i) +1] ₁   и амплитудой, зависящей от параметров обоих участков линии. Однако общая фаза запаздывания изменилась. Если в решении (2) колебательный процесс запаздывал по отношению к фазе воздействия внешней силы на величину , то в решении (11) общее запаздывание определяется параметром (- ₂) . При ₂ +1  угол ₂ , а при ₂ угол , но не к нулю.

С уменьшением разницы между массами элементов m₁ и m₂   амплитуда колебаний растёт. В принципе, при m₁ m₂   амплитуда _i также стремится к бесконечности, что определяется множителями и cos ₁ . Но амплитуда не достигает бесконечного значения, поскольку при m₁ = m₂   в лёгком участке упругой линии также установится апериодический режим колебаний и решение (11) соответствующим образом трансформируется.

При обращении в ноль выражения в квадратных скобках в решении (11), а именно, при

амплитуда колебаний в первом участке обращается в ноль, что хорошо видно на рис. 2а. Причём в ранее рассмотренном случае, когда все участки линии колебались в периодическом режиме, подобное явление было невозможно из-за наличия фазового сдвига у слагаемых в фигурных скобках решения (2). В выражении (14) фазовый сдвиг исчезает вследствие перехода колебаний в тяжелом участке линии в апериодический режим.

Рис. 2. Диаграммы колебаний в неоднородной упругой линии при частотах 23,0515 Гц (а) и 23,5 Гц (б). Значение частоты внешней силы - между граничными частотами легкой и тяжелой частей линии. F₀ = 0,6 Н ; s = 100 Н / м ; m₁ = 0,01 кг ;  ₀₁ = 200 с ^{- 1} ; m₂ = 0,02 кг ; ₀₂ = 141,42  с ^{- 1}