СЕЛФ

66

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

4. Изменение решений при трансформации модели

Базовая модель может быть значительно усложнена путём использования стандартных приёмов. Используя метод суперпозиции, можно учёсть воздействие внешней силы одновременно на несколько элементов линии. Используя спектральное разложение, можно моделировать реакцию упругой линии на внешнее негармоническое воздействие. Можно усложнить процесс колебаний, распространив решения (2)- (4) на случай воздействия наклонной внешней силы. Решение в этом случае будет описывать в неявном виде наклонные волны, распространяющиеся от точки воздействия внешней силы. Основные закономерности колебательных процессов будут соответствовать рассмотренным в пп. 3.1–3.4. При переходе к линии с распределёнными параметрами наклонный характер волнового процесса сохранится в полном соответствии с результатами, представленными в работе [4].

Неоднородная упругая бесконечная линия может служить базовой моделью и для ряда других, близких по структуре, типов упругих линий. Для них также могут быть получены точные аналитические решения путём соответствующей трансформации решений (2)- (4). Например, используя стандартную аналогию между поступательным и вращательным движениями твёрдого тела, можно получить решения для системы упруго связанных дисков, а осуществив дополнительно предельный переход к линии с распределёнными параметрами, можно исследовать крутильные колебания неоднородных валов, осей, тросов и т.д. Используя динамическую электромеханическую аналогию (ДЭМА), представленную в [10], можно получить полный комплекс решений для сложных электрических фильтров. Путём простых преобразований моделирующей системы (1) можно учесть наличие сопротивления в упругой линии, сохранив полноту, аналитичность и точность решений, и т.д.

В качестве примера рассмотрим несколько сравнительно простых и наглядных моделей.

4.1. m₁ = m₂

Трансформация неоднородной упругой линии в однородную приведёт к равенству параметров, характеризующих обе части неоднородной линии. Т.е. в этом случае

С учётом (24), базовая система решений (2)- (4) примет вид:

для i k 

для k i n

для i n + 1

Решения (25)- (28) полностью совпадают с результатами, представленными в работе [1], в которой аналогичные решения получены путём прямого использования методики получения точных аналитических решений. Данное совпадение результатов в некоторой степени служит проверкой правильности решений, представленных в данной работе.

4.2.  m₂ = 0

В этом случае упругая линия может рассматриваться как полубесконечная линия с незакреплённым концом. При этом будут выполняться равенства

С учётом (28) решения (2)- (4) примут вид:

для i k

для k i n

для i n + 1

Выражение (31) совпадает с (30) при i = n и не зависит от индекса i. Это позволяет игнорировать его в общей системе решений (29)- (30). Оставшиеся два выражения для первого и второго участков линии полностью совпадают с соответствующими результатами, полученными в [3]. Если продолжить трансформацию дальше и принять дополнительно k = n , то получим решения для однородной полубесконечной упругой линии при воздействии внешней силы на её свободный конец:

Этот результат совпадёт с решением, представленным в работе [1].