т.2 No 1

67

К решению для бесконечной неоднородной линии

4.3. m₂ =

Используя аналогичный принцип, можно получить решение и для полубесконечной линии с жёстко закреплённым концом. Прежде всего необходимо учесть, что при условии обращения масс m₂  в бесконечность, колебания в участке, содержащем элементы с данными массами, переходят в апериодический режим. Кроме этого, из данного условия следует, что при m₂ 

Для трансформации решений (2)- (4) удобно воспользоваться системой решений (11)- (13), в которой учтён переход колебаний в третьем участке упругой линии в апериодический режим. Последовательно подставляя (33) в выражения данной системы, получим:

для i k

для k i n

для  i n + 1

In the first section of a studied line there propagates the progressive wave whose amplitude depends in a complex way on the external force frequency and the line parameters. In the second section, the standing wave with some phase delay  has formed. In that third, just as it was expected, the vibration amplitude is zero.

В первом участке исследуемой линии распространяется прогрессивная волна, амплитуда которой зависит сложным образом от частоты внешней силы и параметров линии. Во втором участке сформировалась стоячая волна с некоторой фазой запаздывания 2(n – k)₁ . В третьем участке, как и ожидалось, амплитуда колебательного процесса равна нулю.

Если продолжить трансформацию решений (34)- (36) и положить k = n , получим решение для полубесконечной упругой линии, на первый после закрепления элемент которой воздействует внешняя сила. При этом в указанной системе из трёх решений останется одно:

Сравнивая (37) с (32), мы видим, что при одних и тех же параметрах внешней силы амплитуда колебаний в линии с закреплённым концом меньше на низких частотах, когда выполняется условие

При частотах, выше указанной в (38), амплитуда колебаний в линии с закреплённым концом будет выше, чем в линии с незакреплённым концом.

Таким образом мы видим, что базовые решения легко трансформируются в решения для моделей, объемлемых базовой моделью, и это очень важное свойство полных аналитических решений. Если бы исходные базовые решения были неполны или могли бы быть представлены только в численном виде, то подобная трансформация была бы невозможна.

5. Предельный переход к линии с распределёнными параметрами

Для полноты анализа интересно проследить трансформацию решений (2)- (4) при предельном переходе к линии с распределёнными параметрами. Чтобы в данном случае преобразовать базовые решения, необходимо представить параметры упругой линии в виде, соответствующем линии с распределёнными параметрами. Для этого введём:

где T - жесткость линии с распределёнными параметрами, a  - расстояние между невозмущёнными элементами в линии с сосредоточенными параметрами, ₀₁ , ₀₂ - плотность соответствующих участков неоднородной невозмущённой линии с распределёнными параметрами.