т.2 No 1

65

К решению для бесконечной неоднородной линии

Во втором участке упругой линии картина апериодического процесса будет значительно сложнее, что обусловлено влиянием квадратной скобки правой части решения (18). Из-за наличия фазовых сдвигов ₂ будет нарушаться строгая противофазность колебаний соседних элементов участка и усложняется зависимость степени затухания колебательного процесса от частоты.

Рис. 3. Диаграмма колебаний в неоднородной упругой линии при 22,7 Гц. Внешняя сила воздействует на тяжелую часть линии; значение частоты находится между граничными частотами легкой и тяжелой частей линии. F₀ = 0,6 Н ; s = 100 Н / м ; m₁ = 0,01 кг ;   ₀₁ = 200 с ^{- 1} ; m₂ = 0,02 кг ; ₀₂ = 141,42  с ^{- 1}

В третьем участке распространяется прогрессивная волна, амплитуда которой пропорциональна , т.е. степени затухания колебательного процесса в тяжёлой части упругой линии. Как видно на рис. 3, амплитуда колебаний в этом участке может быть значительно меньше амплитуды колебаний в области воздействия внешней силы, несмотря на то, что при построении диаграммы было выбрано соотношение m₁ = m₂  и точка воздействия внешней силы была максимально приближена к переходу неоднородности. Это свидетельствует об остаточном характере колебательного процесса в третьем участке упругой линии.

В качестве следующей характерной трансформации базовых решений рассмотрим случай, когда условие (8) полностью выполняется для всей линии.

3.4.

В этом случае преобразование (9) должно применяться и к лёгкой, и к тяжёлой частям упругой линии. В результате система (2)- (4) примет вид:

для i k

для k i n

для i n + 1

Из (21)- (23) видно, что во всех трёх участках упругой линии устанавливается апериодический режим колебаний. Несмотря на это, в каждом из участков он имеет свои отличительные особенности. В первом участке степень затухания процесса вдоль линии определяется множителем , во втором участке - квадратной скобкой в правой части решения (22), а в третьем участке – множителем . В каждом из указанных случаев влияние отражается не только на основание степени, но и на её показатель и даже на сам вид функциональной зависимости.

Общей отличительной особенностью решений (21)- (23) по сравнению с представленными, например, в работах [1] и [2] является смещение фазы колебаний в первом и втором участках на величину (-/2) , что определяется комплексной единицей в правых частях выражений (21) и (22).

Таким образом, на основе исследования трансформации решений (2)- (4) в зависимости от полного или частичного выполнения условия (8), мы видим, что учёт апериодического режима колебаний в случае упругой бесконечной линии позволяет значительно более полно исследовать всё многообразие картины колебательного процесса, возникающего в линии. Помогает более внимательно анализировать возможные трансформации картины колебаний в зависимости от параметров упругой системы и внешней воздействующей силы, а также более точно выявить наиболее опасные и напряжённые участки линии.