СЕЛФ

62

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

Согласно представленному решению, в первом и третьем участках распространяется прогрессивная волна со специфическими фазами запаздывания, зависящими от параметров обоих участков неоднородной линии. Кроме того, весь процесс колебаний смещён на (-) , что определяется наличием комплексной единицы в правых частях обоих решений. Во втором участке формируется стоячая волна с общей фазой запаздывания [2(n - k)+1]₁ и дополнительной фазой запаздывания от элемента к элементу, определяемой фигурной скобкой выражения (3). В связи с последним обстоятельством картина колебаний во втором участке линии усложняется, в результате чего, как будет показано далее, выражение (3) описывает не только стоячие, но и прогрессивные волны.

Кроме того, из (5) мы видим, что в линии появились две граничные частоты

Эти частоты для линии в целом определяют два условия перехода линии в закритическую область колебаний при превышении частоты внешнего воздействия каждого из значений в (7). Благодаря этому, частотный диапазон разделяется на три поддиапазона, в каждом из которых решения (2)- (4) будут трансформироваться в зависимости от выполнения условий

При этом участок линии, массы элементов которого больше, переходит в область апериодического режима колебаний раньше, в то время как во втором участке сохранится периодический режим незатухающих колебаний до выполнения для него условий (8).

Чтобы проанализировать характер трансформации решений, достаточно при выполнении условий (8) для какого-либо участка преобразовать параметры в (2)- (4), относящиеся к этому участку, при помощи очевидной зависимости, следующей из (6):

Далее мы рассмотрим возможные трансформации решений (2)- (4) в зависимости от параметров m₁, m₂  и   и проанализируем наиболее характерные особенности колебательного процесса, сопутствующие им.

3. Исследование типичных картин колебательного процесса в неоднородной упругой бесконечной линии

Анализ начнём с наиболее очевидного и простого случая, когда условие (8) не выполняется ни для одного участка упругой линии.

При указанных условиях обе части линии колеблются в периодическом режиме и система решений (2)- (4) сохраняется в неизменном виде. Особый интерес вызывает процесс во втором участке линии. Согласно выражению в фигурной скобке в (3), картина колебательного процесса в этом участке представляет собой суперпозицию двух прогрессивных волн, распространяющихся навстречу друг другу с амплитудами, пропорциональными соответственно sin (₁ + ₂)  и sin (_{1 - 2}) . Вместе с тем, выражение в фигурной скобке можно представить в иной форме:

Согласно (10), процесс в средней части упругой линии можно представить как суперпозицию двух стоячих волн с различными амплитудами и фазами смещения колебаний. И эти два представления эквивалентны друг другу.

Рис. 1. Диаграммы колебаний в неоднородной упругой линии при 8 Гц (а) и 22 Гц (б). Частота внешней силы ниже граничных частот для обеих частей линии; F₀ = 0,6 Н ; s = 100 Н/м ; m₁ = 0,01 кг ; ₀₁ = 200 с ^-1; m₂ = 0,02 кг ; ₀₂ = 141,42 с^-1

Характерная картина колебаний представлена на рис. 1 для двух значений частоты внешней силы. В первом случае, на рис. 1а, частота мала и в средней части линии наблюдается прогрессивная волна в обе стороны от точки воздействия внешней силы. Во втором случае, представленном на рис. 1б, частота воздействия внешней силы немного меньше граничной частоты ₀₂ . При этом в средней части линии наблюдаются практически стоячие волны, а в тяжёлой части линии – почти противофазные, но не затухающие колебания. Последнее подтверждает объяснение процесса гашения колебаний при переходе в апериодический режим, данное Магнусом – правда, в случае только двух упруго связанных масс. “Явление гашения колебаний можно объяснить следующим образом. При правильной настройке вторая масса колеблется в противофазе с возмущением и как раз с такой амплитудой, что сила, с которой вторая пружина действует на первую массу, уравновешивает возмущающую силу, передающуюся через первую пружину” [6, с. 268]. То есть, не сама противофазность колебаний соседних масс обеспечивает затухание колебаний вдоль линии, но сочетание противофазности и амплитуды колебаний. Вернее, не самой амплитуды, а степени реакции массы элементов линии на возбуждение упругой связи. Без этого соответствия в линии будет отсутствовать затухание, что мы и наблюдаем на рис. 1б.

Повысим теперь частоту так, чтобы нарушилось условие (8) для тяжелой части линии и рассмотрим следующую характерную картину колебаний.